Se calor é transferido para fora de uma superfície por convecção e radiação, como as resistências térmicas correspondentes são representadas em um circuito? Considere condução em regime estacionário através de uma parede plana que separa dois fluidos a diferentes temperaturas, \mathrm{T}_{\infty, \mathrm{i}} \mathrm{e} \mathrm{T}_{\infty, \mathrm{e}}, adjacentes às superfícies interna e externa, respectivamente. Se o coeficiente convectivo na superfície externa for cinco vezes maior do que o na superfície interna, \mathrm{h}_{\mathrm{e}}=5 \mathrm{~h}_{\mathrm{i}}, o que você pode dizer sobre a proximidade relativa das temperaturas das superfícies correspondentes, Ts,e e Ts,i, em relação às dos respectivos fluidos adjacentes?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listando os dados e o que é pedido):
  • Há condução estacionária através de uma parede plana que separa dois fluidos com temperaturas uniformes afastadas: \,T_{\infty,i}\, (fluido interno) e \,T_{\infty,e}\, (fluido externo).
  • Nas superfícies interna e externa há troca de calor com os fluidos por convecção; pode também haver troca radiativa a partir das superfícies.
  • O coeficiente convectivo na superfície externa é cinco vezes o da superfície interna: \,h_e = 5\,h_i.
    As perguntas:
  1. Como representar as resistências térmicas correspondentes à convecção e à radiação em um circuito térmico (qual a forma das resistências e como elas se ligam)?
  2. Com \,h_e = 5\,h_i, o que se pode dizer sobre quão próximas estão as temperaturas de superfície \,T_{s,e} e \,T_{s,i} das respectivas temperaturas dos fluidos \,T_{\infty,e} e \,T_{\infty,i}?

Passo 2

Como se representa a convecção como resistência térmica (fórmula e ideia física).
  • Conceito: para convecção numa superfície de área A vale a lei de Newton do resfriamento
q = h\,A\,(T_{\infty}-T_s),
onde:
  • q é a taxa de calor (em W), positiva no sentido do fluido para a superfície conforme a escolha de sinais;
  • h é o coeficiente de convecção (em W,m{-2},K{-1});
  • A é a área (m^2);
  • T_{\infty} é a temperatura do fluido distante da superfície (K ou °C);
  • T_s é a temperatura na superfície.
  • Reescrevendo como uma “leis de Ohm térmica” obtemos a resistência convectiva
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,A},
pois então
q=\frac{T_{\infty}-T_s}{R_{\text{conv}}}.
  • Interpretação simples: quanto maior h menor a resistência e menor a queda de temperatura entre fluido e superfície para uma mesma taxa q.

Passo 3

Como tratar a radiação em forma de resistência (fórmula, linearização e combinação com a convecção).
  • Lei de Stefan–Boltzmann (troca radiativa com um ambiente idealizado):
q_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,A\,(T_s^4-T_{\text{amb}}^4),
onde \varepsilon é a emissividade, \sigma a constante de Stefan–Boltzmann, e as temperaturas em Kelvin.
  • Para inserir a radiação num circuito linear (resistência), geralmente lineariza-se em torno de uma temperatura média \,T_m e define-se um coeficiente radiativo linearizado h_{\text{rad}} tal que
q_{\text{rad}} \approx h_{\text{rad}}\,A\,(T_s-T_{\text{amb}}).
  • Uma expressão conveniente para h_{\text{rad}} é
h_{\text{rad}} \approx \varepsilon\,\sigma\,(T_s^2+T_{\text{amb}}^2)(T_s+T_{\text{amb}}),
ou, para aproximações rápidas em torno de uma temperatura média,
h_{\text{rad}}\approx 4\,\varepsilon\,\sigma\,T_m^3.
  • Assim a resistência radiativa linearizada é
R_{\text{rad}}=\frac{1}{h_{\text{rad}}\,A}.
  • Observação importante de circuito: convecção e radiação atuam simultaneamente entre a mesma superfície e o mesmo ambiente, portanto são dois “ramos” em paralelo no circuito térmico. O fluxo total é a soma:
q = q_{\text{conv}} + q_{\text{rad}} = A\,(h_{\text{conv}}+h_{\text{rad}})\,(T_s-T_{\infty}),
logo pode-se usar um coeficiente equivalente
h_{\text{eq}}=h_{\text{conv}}+h_{\text{rad}}
e uma resistência equivalente
R_{\text{surf}}=\frac{1}{h_{\text{eq}}\,A}.
Em diagrama: os ramos R_{\text{conv}}=1/(h_{\text{conv}}A) e R_{\text{rad}}=1/(h_{\text{rad}}A) saem em paralelo do nó da superfície para o nó do fluido/ambiente; pode-se substituí‑los por R_{\text{surf}}=1/((h_{\text{conv}}+h_{\text{rad}})A).

Passo 4

Montagem do circuito térmico completo para a parede plana (descrição e fórmulas das resistências em série).
  • Nó térmico e resistências em série (ordem das temperaturas): \,T_{\infty,i} (fluido interno) → resistência convectiva interna R_{i}=1/(h_i A) → nó T_{s,i} (superfície interna) → resistência de condução da parede R_{\text{cond}}=L/(kA) → nó T_{s,e} (superfície externa) → resistências convectiva e radiativa externas (em paralelo) R_{e,\text{conv}}=1/(h_e A) e R_{e,\text{rad}}=1/(h_{e,\text{rad}} A) \,T_{\infty,e} (fluido externo).
  • Se usar o coeficiente equivalente externo h_{e,\text{eq}}=h_e+h_{e,\text{rad}}, então o circuito efetivo em série é
T_{\infty,i} \xrightarrow{R_i=\frac{1}{h_iA}} T_{s,i} \xrightarrow{R_{\text{cond}}=\frac{L}{kA}} T_{s,e} \xrightarrow{R_{e}=\frac{1}{h_{e,\text{eq}}A}} T_{\infty,e}.
  • A taxa de calor estacionária q é a mesma em todos os elementos em série e pode ser escrita como
q=\frac{T_{\infty,i}-T_{\infty,e}}{R_i+R_{\text{cond}}+R_e}.

Passo 5

Relação entre os saltos de temperatura nos filmes convectivos e conclusão quando \,h_e=5\,h_i.
  • Para cada face convectiva (ignorando aqui a radiação externa para clareza da razão), a queda de temperatura entre fluido e superfície é
\Delta T_i = T_{\infty,i}-T_{s,i} = \frac{q}{h_i A}, \qquad \Delta T_e = T_{s,e}-T_{\infty,e} = \frac{q}{h_e A}.
  • Dividindo as duas expressões:
\frac{\Delta T_e}{\Delta T_i}=\frac{h_i}{h_e}.
  • Substituindo \,h_e=5\,h_i obtemos
\frac{\Delta T_e}{\Delta T_i}=\frac{h_i}{5h_i}=\frac{1}{5}.
  • Interpretação direta e prática: para o mesmo fluxo q a queda de temperatura entre a superfície externa e o fluido externo é cinco vezes menor do que a queda entre a superfície interna e o fluido interno. Em outras palavras, \,T_{s,e} fica muito mais próximo de \,T_{\infty,e} do que \,T_{s,i} fica de \,T_{\infty,i}.
  • Exemplo numérico rápido para fixar (área A=1 m^2, h_i=10 W/m^2K, logo h_e=50 W/m^2K, e suponha q=100 W):
    • \Delta T_i = 100/(10\cdot1)=10 K, então T_{s,i}=T_{\infty,i}-10 K;
    • \Delta T_e = 100/(50\cdot1)=2 K, então T_{s,e}=T_{\infty,e}+2 K.
  • Observações e caveats:
    • Se a radiação externa for significativa, usar h_{e,\text{eq}}=h_e+h_{e,\text{rad}} torna \Delta T_e ainda menor (ou seja, T_{s,e} ainda mais próximo de T_{\infty,e}).
    • A razão acima é válida porque o mesmo calor q atravessa ambas as resistências convectivas; o valor absoluto de q depende também da resistência de condução R_{\text{cond}} e das demais condições de contorno.
    • A linearização da radiação é uma aproximação; para grandes diferenças de temperatura convectiva+radiativa precise usar a expressão exata ou linearizar em um ponto apropriado.

Resposta

Convecção: R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{hA}.
Radiação (linearizada): R_{\text{rad}}=\dfrac{1}{h_{\text{rad}}A} com h_{\text{rad}}\approx\varepsilon\sigma(T_s^2+T_{\infty}^2)(T_s+T_{\infty}); convecção e radiação saem em paralelo do nó da superfície, logo h_{\text{eq}}=h_{\text{conv}}+h_{\text{rad}} e R_{\text{surf}}=\dfrac{1}{h_{\text{eq}}A}.
Como \,h_e=5h_i, para o mesmo fluxo q vale \,T_{\infty,i}-T_{s,i}=\dfrac{q}{h_iA} e \,T_{s,e}-T_{\infty,e}=\dfrac{q}{h_eA}=\dfrac{1}{5}\dfrac{q}{h_iA}. Portanto T_{s,e} fica cinco vezes mais próximo de T_{\infty,e} do que T_{s,i} está de T_{\infty,i}.

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