Questão 5: Uma vazão de água de 900 litros por minuto é resfriada de 48 a 26^{\circ} \mathrm{C} ao escoar no interior de um tubo de 150 mm de diâmetro cuja superfície é mantida a -10^{\circ} \mathrm{C}.
a) Calcule o coeficiente de transferência de calor da água através de uma correlação empírica disponível na Literatura.
b) Determine qual deve ser o comprimento do tubo para que seja efetuada esta transferência de calor.
c) Calcule a quantidade de calor perdida pela água durante o seu escoamento dentro do tubo.
T (K) \rho ( \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) \mathrm{c}_{\mathrm{p}} ( \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ) \mu \cdot 10^{6} ( \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) \mathrm{k} \cdot 10^{3} ( \mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) Pr \beta \cdot 10^{6} ( \mathrm{K}^{-1} )
280 1000 4,198 1422 582 10,26 46,04
290 999 4,184 1080 598 7,56 174,0
300 998 4,179 855 613 5,83 276,1
310 993 4,178 695 628 4,62 361,9
320 989 4,180 577 640 3,77 436,7
330 984 4,184 489 650 3,15 504,0
340 979 4,188 420 660 2,66 566,0

Passo 1

O enunciado dá uma corrente de água que atravessa um tubo e fornece os seguintes dados (já listados exatamente como no enunciado; as temperaturas no enunciado estão em °C e na tabela em K):
  • Vazão volumétrica: 900\\ \mathrm{L/min}.
  • Temperatura de entrada da água: T_{\mathrm{in}}=48^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de saída desejada: T_{\mathrm{out}}=26^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura superficial do tubo (mantida constante): T_s=-10^\circ\mathrm{C}.
  • Diâmetro do tubo: D=150\\ \mathrm{mm}.
  • Tabela de propriedades da água em várias temperaturas (fornecida no enunciado). Entre as entradas relevantes da tabela está a linha para 310\\ \mathrm{K} (que corresponde a 37^\circ\mathrm{C}):
    • \rho(310\\ \mathrm{K})=993\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • c_p(310\\ \mathrm{K})=4{,}178\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (ou seja 4178\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
    • \mu(310\\ \mathrm{K})=695\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • k(310\\ \mathrm{K})=0{,}628\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • \Pr(310\\ \mathrm{K})=4{,}62.
O enunciado pede:
a) um coeficiente de transferência por convecção h usando alguma correlação empírica da literatura;
b) o comprimento do tubo necessário para resfriar a água de 48^\circ\mathrm{C} para 26^\circ\mathrm{C} com a superfície a -10^\circ\mathrm{C};
c) a quantidade de calor perdida pela água durante o escoamento (taxa de calor).

Passo 2

Primeiro vamos converter e calcular grandezas geométricas e de escoamento que vamos usar (tudo com explicação passo a passo).
  • Converter vazão para unidades SI:
    \dot V = 900\\ \mathrm{L/min} = 900\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/min}=\frac{0{,}9}{60}\\ \mathrm{m^3/s}=0{,}015\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Área da seção transversal do tubo:
    A=\frac{\pi D^2}{4},\qquad D=0{,}150\\ \mathrm{m}.
A=\frac{\pi (0{,}150)^2}{4}=\pi\cdot0{,}005625\approx0{,}01767\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média do fluido no tubo:
    U=\frac{\dot V}{A}=\frac{0{,}015}{0{,}01767}\approx0{,}8488\\ \mathrm{m/s}.
  • Vazão mássica:
    \dot m=\rho \dot V=993\cdot0{,}015=14{,}895\\ \mathrm{kg/s}.
(Nesta etapa apenas calculei as quantidades físicas diretas e converti unidades; em passos seguintes uso propriedades da tabela.)

Passo 3

Agora precisamos decidir qual correlação usar para o coeficiente convectivo h e para isso calculamos números adimensionais que aparecem nessas correlações (e eu explico o que são).
  • Definição do número de Reynolds:
    \Re = \frac{\rho U D}{\mu}.
    Aqui:
    • \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^3}),
    • U é a velocidade média ( \mathrm{m/s}),
    • D é o diâmetro ( \mathrm{m}),
    • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{Pa\cdot s}).
    Substituindo valores (uso as propriedades na temperatura média de ensaio; veja observação abaixo):
    \mu=695\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\quad \Re=\frac{993\cdot0{,}8488\cdot0{,}15}{695\times10^{-6}}\approx1{,}82\times10^{5}.
    Interpretação rápida: \Re\gg4000 indica escoamento turbulento.
  • Definição do número de Prandtl:
    \Pr=\frac{c_p\mu}{k},
    onde c_p em \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \mu em \mathrm{Pa\cdot s} e k em \mathrm{W/(m\cdot K)}. A tabela deu \Pr\approx4{,}62 em 310\\ \mathrm{K}. O número de Prandtl relaciona difusão de momento e difusão térmica; para água em temperaturas usuais \Pr está entre 1 e 10.
Observação sobre escolha de propriedades: a água muda pouco entre 48^\circ\mathrm{C} e 26^\circ\mathrm{C}; é prática comum usar propriedades avaliadas a uma temperatura média (por exemplo a média entre entrada e saída) ou ao chamado temperatura de filme. A média aritmética T_{\mathrm{médio}}=(48+26)/2=37^\circ\mathrm{C}é corresponde a 310\\ \mathrm{K}, e a tabela fornece propriedades nesse ponto. Por isso usei as propriedades listadas em 310\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Escolha da correlação empírica para o cálculo de h e explicação didática.
  • Em escoamento interno turbulento em tubos lisos existe uma correlação simples e amplamente usada: a correlação de Dittus–Boelter,
    \Nu = 0{,}023\,\Re^{0{,}8}\,\Pr^{n},
    onde:
    • \Nu=\dfrac{hD}{k} é o número de Nusselt (medida adimensional da transferência de calor por convecção),
    • n=0{,}4 se o fluido estiver sendo aquecido pela parede (paredes mais quentes que o fluido),
    • n=0{,}3 se o fluido estiver sendo resfriado pela parede (paredes mais frias que o fluido).
    No nosso caso a parede está a -10^\circ\mathrm{C} e o fluido entre 48^\circ\mathrm{C} e 26^\circ\mathrm{C}: a parede é mais fria que o fluido, logo o fluido está sendo resfriado. Então usamos n=0{,}3.
  • Condições de validade (para checar depois): a correlação de Dittus–Boelter é indicada tipicamente para \Re\gtrsim10^4, 0{,}7\lesssim\Pr\lesssim160 e tubo com razão L/D não muito pequena (ou seja, tratar de um trecho suficientemente desenvolvido). Nós já temos \Re\approx1{,}82\times10^{5} e \Pr\approx4{,}62, então a correlação é aplicável na prática (vou verificar L/D depois para confirmar).

Passo 5

Cálculo prático de \Nu e h usando Dittus–Boelter (aqui mostro passo a passo as contas).
  • Calcular \Nu:
    \Nu = 0{,}023\;\Re^{0{,}8}\;\Pr^{0{,}3}.
    Substituindo \Re\approx1{,}82\times10^{5} e \Pr=4{,}62:
    \Nu \approx 0{,}023\;(1{,}82\times10^{5})^{0{,}8}\;(4{,}62)^{0{,}3}\approx5{,}87\times10^{2}.
    (No detalhe: (1{,}82\times10^{5})^{0{,}8}\approx1,61\times10^{4} e (4{,}62)^{0{,}3}\approx1{,}58, multiplicando e aplicando o coeficiente obtém-se \Nu\approx5{,}87\times10^{2}.)
  • Agora obtemos h pela definição de Nusselt:
    h=\frac{\Nu\,k}{D}.
    Usando k=0{,}628\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e D=0{,}150\\ \mathrm{m}:
    h \approx \frac{5{,}87\times10^{2}\cdot0{,}628}{0{,}150}\approx2{,}46\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Breve interpretação: esse valor de h é típico de água em escoamento turbulento interno — é bem maior do que convecção natural porque o movimento do fluido força o transporte de calor.

Passo 6

Determinar o comprimento do tubo necessário para obter o resfriamento pedido. Aqui derivamos a equação de balanço de energia e resolvemos para L.
  • Balanço de energia por unidade de comprimento do tubo: considere um trecho diferencial dx. A taxa de energia removida do fluido por unidade de comprimento (potência por comprimento) é q'(x)=hP\big(T(x)-T_s\big), onde P é o perímetro interno do tubo. A variação de energia do fluido por comprimento é \dot m c_p \dfrac{dT}{dx}. Equilibrando:
    \dot m c_p \frac{dT}{dx} = -hP\big(T-T_s\big).
    Esta é uma equação diferencial linear cuja solução é exponencial. Integrando entre entrada ( x=0,\\ T=T_{\mathrm{in}}) e saída ( x=L,\\ T=T_{\mathrm{out}}) resulta:
    T_{\mathrm{out}}-T_s = \big(T_{\mathrm{in}}-T_s\big)\exp\!\Big(-\frac{hP}{\dot m c_p}L\Big).
    Resolvendo para L:
    L = -\frac{\dot m c_p}{hP}\ln\!\Big(\frac{T_{\mathrm{out}}-T_s}{T_{\mathrm{in}}-T_s}\Big).
    Aqui:
    • P=\pi D é o perímetro interno do tubo;
    • \dot m é a vazão mássica calculada ( 14{,}895\\ \mathrm{kg/s});
    • c_p=4178\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)};
    • h é o coeficiente convectivo já calculado.
  • Calcular P:
    P=\pi D=\pi\cdot0{,}150\approx0{,}47124\\ \mathrm{m}.
  • Calcular o fator de escala:
    \frac{\dot m c_p}{hP}=\frac{14{,}895\cdot4178}{2{,}458\times10^{3}\cdot0{,}47124}\approx53{,}7\\ \mathrm{m}.
  • Agora as diferenças de temperatura (todas em K, diferenças numéricas iguais a °C):
    T_{\mathrm{in}}-T_s=48-(-10)=58\\ \mathrm{K}, \qquad T_{\mathrm{out}}-T_s=26-(-10)=36\\ \mathrm{K}.
\ln\!\Big(\frac{36}{58}\Big)=\ln(0{,}62069)=-0{,}477.
Assim
L = -53{,}7\cdot(-0{,}477)\approx25{,}6\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: com L\approx25{,}6\\ \mathrm{m} e D=0{,}15\\ \mathrm{m} a razão L/D\approx171, ou seja L/D\gg10, o que confirma que a correlação de Dittus–Boelter (válida para tubos suficientemente longos/desenvolvidos) é apropriada aqui.

Passo 7

Calcular a taxa de calor perdida pela água (parte c).
  • A quantidade de calor removida por segundo do fluido é simplesmente o produto da vazão mássica pelo calor específico e pela queda de temperatura: \dot Q = \dot m c_p (T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}}).Substituindo valores: \dot Q = 14{,}895\cdot4178\cdot(48-26)=14{,}895\cdot4178\cdot22.
\dot Q \approx1{,}369\times10^{6}\\ \mathrm{W}=1{,}369\\ \mathrm{MW}.
Interpretação motivadora: isso é muita potência térmica — aproximadamente 1{,}37\\ \mathrm{MW} sendo retirada da água. Não se assuste: a vazão é alta ( 0{,}9\\ \mathrm{m^3/min} ou \sim15\\ \mathrm{kg/s}) e a queda de 22\\ \mathrm{K} gera essa ordem de grandeza.

Passo 8

Checagens finais e observações práticas (rápidas e úteis para a prova):
  • Validade da correlação: \Re\approx1{,}82\times10^{5} ( >\!10^4), \Pr\approx4{,}62 ( 0{,}7\!-\!160), e L/D\approx171 (muito maior que 10) ⇒ aplicação da correlação de Dittus–Boelter é adequada.
  • Aproximações feitas: usei propriedades avaliadas em T\approx37^\circ\mathrm{C} (média aritmética de entrada e saída), assumindo h praticamente constante ao longo do comprimento; essa é uma prática padrão e introduz erro pequeno para líquidos com propriedades pouco variáveis.
  • Se for exigido maior rigor: poderia iterar avaliando propriedades em uma temperatura de filme T_f=(T(x)+T_s)/2 ou fazer uma integração numérica com propriedades variando com T. Para prova essa aproximação é usual e aceita.

Resposta

h \approx 2{,}46\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
L \approx 25{,}6\\ \mathrm{m}
\dot Q \approx 1{,}369\times10^{6}\\ \mathrm{W}

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