Uma camada de material refratário ( \mathrm{k}=1,8 \mathrm{~W} / . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 50 mm de espessura está localizada entre duas chapas de aço ( \mathrm{k}=50,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ) de 6,3 \mathrm{~mm} de espessura. As faces da camada refratária adjacentes às placas são rugosas de modo que apenas 30 \% da área total está em contato com o aço. Os espaços vazios são ocupados por ar ( \mathrm{k}=0,015 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) e a espessura média da rugosidade de 0,8 \mathrm{~mm}. Considerando que as temperaturas das superfícies externas da placa de aço são 481^{\circ} \mathrm{C} e 97^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Calcule a taxa de transferência de calor, em W, que se estabelece na parede composta. OBS : Na rugosidade, o ar está parado (considerar apenas a condução)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (assumirei área da parede igual a 1\\ \mathrm{m}^2 porque a área não foi fornecida — assim a taxa calculada será para A=1\\ \mathrm{m}^2).
  • Condutividades térmicas:
    • aço: k_{\text{aço}} = 50{,}0\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}ç
    • refratário: k_{\text{ref}} = 1{,}8\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}
    • ar (nos vazios): k_{\text{ar}} = 0{,}015\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}
  • Espessuras:
    • chapas de aço: t_{\text{aço}} = 6{,}3\\ \mathrm{mm} = 0{,}0063\\ \mathrm{m}ç (cada)
    • camada refratária: t_{\text{ref}} = 50\\ \mathrm{mm} = 0{,}05\\ \mathrm{m}
    • espessura média da rugosidade (ar nos vazios): t_{\text{rug}} = 0{,}8\\ \mathrm{mm} = 0{,}0008\\ \mathrm{m}
  • Fração de área em contato com o aço: a = 30\% = 0{,}30. Fração sem contato (preenchida por ar): b = 0{,}70.
  • Temperaturas das superfícies externas das chapas de aço:
    • face quente: T_{\text{ext, quente}} = 481^\circ\mathrm{C}
    • face fria: T_{\text{ext, frio}} = 97^\circ\mathrm{C}
  • Pedido: calcular a taxa de transferência de calor Q através da parede composta (em W). Assumo A=1\\ \mathrm{m}^2.

Passo 2

Escolha do modelo e ideia física (sem fórmulas ainda). A parede tem três camadas em série (aço — refratário — aço), mas as superfícies refratário–aço são rugosas: em 30\% da área há contato direto (caminho sem ar), e em 70\% da área existem espaços preenchidos por ar (espessura média t_{\text{rug}}) nos dois lados do refratário. Isso gera dois caminhos térmicos em paralelo por unidade de área:
  • caminho “contato” (fração a): aço (esq) → refratário → aço (dir) sem lacunas;
  • caminho “vazio/ar” (fração b): aço (esq) → ar (lacuna) → refratário → ar (lacuna) → aço (dir).
Logo, por unidade de área calculamos a resistência térmica total de cada caminho e obtemos a condutância por área (recíproco da resistência). A condutância total por área é a média ponderada pelas frações de área: U_{\text{tot}} = a\,U_{\text{contato}} + b\,U_{\text{ar}}. Então Q = U_{\text{tot}}\,A\,\Delta T, com \Delta T = T_{\text{ext, quente}} - T_{\text{ext, frio}}.

Passo 3

Fórmulas básicas que usarei (explicação didática):
  • Resistência por condução de uma camada plana homogênea de área A, espessura L e condutividade k:
R = \frac{L}{kA},
onde R tem unidade \mathrm{m}^2\! \cdot\! ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W} se A em \mathrm{m}^2, L em m e k em \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}. Para A=1\\ \mathrm{m}^2 isso fica simplesmente R=L/k.
  • Resistências em série somam:
R_{\text{serie}} = R_1 + R_2 + \cdots
  • Condutância por área de um caminho é U = 1/R_{\text{total}}.
  • Para caminhos em paralelo que ocupam frações de área a e b (com a+b=1), a condutância média por área é
U_{\text{tot}} = a\,U_a + b\,U_b.
  • Finalmente, taxa de calor:
Q = U_{\text{tot}}\,A\,\Delta T.

Passo 4

Calcular as resistências dos elementos (por unidade de área, A=1\\ \mathrm{m}^2). Primeiro as chapas de aço e o refratário (valem para ambos os caminhos):
  • resistência de uma chapa de aço:
R_{\text{aço}} = \frac{t_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}} = \frac{0{,}0063}{50{,}0} = 0{,}000126\\ \mathrm{m}^2\! \cdot\! ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.ççç
Temos duas chapas (uma de cada lado), portanto
R_{\text{aço, total}} = 2\,R_{\text{aço}} = 2(0{,}000126) = 0{,}000252\\ \mathrm{m}^2\! \cdot\! ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.çç
  • resistência da camada refratária:
R_{\text{ref}} = \frac{t_{\text{ref}}}{k_{\text{ref}}} = \frac{0{,}05}{1{,}8} = 0{,}027777\ldots \approx 0{,}02778\\ \mathrm{m}^2\! \cdot\! ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.

Passo 5

Resistência do caminho “contato” (fração a=0{,}30): não há lacunas de ar, então a resistência total por unidade de área é a soma das duas chapas de aço e do refratário:
R_{\text{contato}} = R_{\text{aço, total}} + R_{\text{ref}} = 0{,}000252 + 0{,}027777\ldots = 0{,}0280298\\ \mathrm{m}^2\! \cdot\! ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.ç

Passo 6

Resistência do caminho “ar” (fração b=0{,}70): aqui existem duas lacunas de ar (uma em cada face) com espessura t_{\text{rug}}=0{,}0008\\ \mathrm{m}. A resistência de cada lacuna de ar é
R_{\text{ar, um}} = \frac{t_{\text{rug}}}{k_{\text{ar}}} = \frac{0{,}0008}{0{,}015} = 0{,}053333\ldots\\ \mathrm{m}^2\! \cdot\! ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.
Duas lacunas dão 2\times 0{,}053333\ldots = 0{,}106666\ldots. Somando aço e refratário (como no caminho contato) obtemos
R_{\text{ar}} = R_{\text{aço, total}} + 2R_{\text{ar, um}} + R_{\text{ref}} = 0{,}000252 + 0{,}106666\ldots + 0{,}027777\ldots = 0{,}1346964\\ \mathrm{m}^2\! \cdot\! ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.ç

Passo 7

Calcular as condutâncias (por unidade de área) dos dois caminhos:
U_{\text{contato}} = \frac{1}{R_{\text{contato}}} = \frac{1}{0{,}0280298} \approx 35{,}67\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C},
U_{\text{ar}} = \frac{1}{R_{\text{ar}}} = \frac{1}{0{,}1346964} \approx 7{,}42\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Combinar as condutâncias ponderadas pelas frações de área:
U_{\text{tot}} = a\,U_{\text{contato}} + b\,U_{\text{ar}} = 0{,}30(35{,}67) + 0{,}70(7{,}42) \approx 15{,}896\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}.
A diferença de temperatura é
\Delta T = 481^\circ\mathrm{C} - 97^\circ\mathrm{C} = 384^\circ\mathrm{C}.
Então, para A=1\\ \mathrm{m}^2,
Q = U_{\text{tot}}\,A\,\Delta T \approx 15{,}896 \times 1 \times 384 \approx 6104\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Interpretação rápida e checagem: o valor faz sentido qualitativamente — o caminho com ar reduz bastante a condutância; como a maior parte da área ( 70\%) tem ar, a condutância total fica bem menor que a disponível no contato pleno. O número obtido é a taxa de calor para a área assumida de 1\\ \mathrm{m}^2. Se houver uma área diferente, multiplique Q por essa área.

Resposta

Q \approx 6104\\ \mathrm{W}

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