Q5-1,0pt) A metade inferior de um recipiente cilíndrico de 12 m de altura é preenchida com água ( \rho=1.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) e a metade superior com óleo de gravidade específica de 0,85 . Determine a diferença de pressão entre a parte superior e inferior do cilindro

Passo 1

O enunciado pede a diferença de pressão entre a parte superior e a parte inferior do cilindro. Dados fornecidos:
  • Altura total do cilindro: 12\\ \mathrm{m}.
  • Metade inferior preenchida com água; portanto a altura da coluna de água é h_{\text{água}}=6\\ \mathrm{m}á.
  • Metade superior preenchida com óleo de gravidade específica 0,85; portanto a altura da coluna de óleo é h_{\text{óleo}}=6\\ \mathrm{m}ó.
  • Densidade da água: \rho_{\text{água}}=1{,}000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á (dado).
  • Gravidade: usaremos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    A pergunta é: qual é a diferença de pressão entre a parte superior e a parte inferior do cilindro (ou seja, p_{\text{inferior}}-p_{\text{superior}})?

Passo 2

Conceito básico (mini-aula): pressão hidrostática
  • A pressão a uma profundidade h abaixo de uma superfície de um fluido homogêneo é dada por
p = p_{\text{superf}} + \rho g h,
onde:
  • p é a pressão no ponto a profundidade h;
  • p_{\text{superf}} é a pressão na superfície do fluido (por exemplo, pressão atmosférica se estiver aberta);
  • \rho é a densidade do fluido;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • h é a profundidade medida a partir da superfície até o ponto.
  • Para camadas de fluidos diferentes empilhadas, a pressão se soma continuamente: a pressão no fundo é a pressão na superfície superior mais a contribuição de cada camada, isto é
p_{\text{fundo}} = p_{\text{superf}} + \sum_i \rho_i g h_i.
Explicação simples do porquê: cada camada exerce seu próprio “peso por unidade de área” acima do ponto, e esse peso dividido pela área aparece como um aumento de pressão igual a \rho g h para essa camada.

Passo 3

Aplicando ao problema: a parte superior é a superfície do óleo. Tomando p_{\text{superior}} como a pressão nessa superfície, a diferença de pressão entre fundo e topo será apenas a soma das contribuições das duas camadas (óleo + água):
\Delta p \equiv p_{\text{inferior}}-p_{\text{superior}} = \rho_{\text{óleo}} g h_{\text{óleo}} + \rho_{\text{água}} g h_{\text{água}}.óóáá
Antes de calcular, precisamos da densidade do óleo. Gravidade específica =0{,}85 significa que
\rho_{\text{óleo}} = 0{,}85\cdot\rho_{\text{água}} = 0{,}85\cdot1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 850\\ \mathrm{kg/m^{3}}.óá

Passo 4

Substituindo valores numéricos passo a passo:
\rho_{\text{óleo}} h_{\text{óleo}} + \rho_{\text{água}} h_{\text{água}} = 850\cdot6 + 1000\cdot6 = 6\cdot(850+1000)=6\cdot1850=11100\\ \mathrm{kg/m^{2}}.óóáá
Agora multiplicar por g:
\Delta p = g\cdot11100 = 9{,}81\cdot11100 = 108891\\ \mathrm{Pa}.
Converter para unidades mais usuais:
108891\\ \mathrm{Pa} \approx 108{,}9\\ \mathrm{kPa} \approx 0{,}1089\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Interpretação final: esse valor \Delta p é a diferença de pressão entre a superfície superior (onde está o óleo, normalmente exposta à pressão atmosférica) e o fundo do cilindro — ou seja, é a pressão adicional no fundo devido às colunas de óleo e água. É também a pressão manométrica no fundo se a superfície superior estiver à pressão atmosférica.

Resposta

\Delta p = 108891\\ \mathrm{Pa} \approx 108{,}9\\ \mathrm{kPa}

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