Um campo de velocidade bidimensional é dado por \vec{V}=\left(x^{2}-y^{2}+x\right) \vec{\imath}-(2 x y+y) \vec{\jmath} em unidades arbitrárias. Em (x, y)=(1,2), calcule (a) as acelerações a_{x} \mathbf{e} a_{y}, (b) o componente de velocidade na direção \theta=40^{\circ} (c) a direção da velocidade máxima e (d) a direção da aceleração máxima, (e) determine se o escoamento é: rotacional, compressível.
Passo 1
O enunciado fornece o campo de velocidade bidimensional
e pede, no ponto (x,y)=(1,2):
(a) as componentes da aceleração a_x e a_y;
(b) o componente da velocidade na direção \theta=40^\circ;
(c) a direção (ângulo) para a qual a velocidade tem módulo máximo;
(d) a direção (ângulo) para a qual a aceleração tem módulo máximo;
(e) determinar se o escoamento é rotacional e se é compressível.
Informações relevantes que vamos usar (extraídas do enunciado):
u(x,y)=x^{2}-y^{2}+x.
v(x,y)=-(2xy+y)=-y(2x+1).
Ponto de interesse: (x,y)=(1,2).
A aceleração material (para escoamento estacionário) é dada por \vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}, isto é
Para um vetor \vec{V}, o componente máximo (maior projeção) ocorre na direção do próprio vetor \vec{V}. Assim a direção da velocidade máxima é a direção do vetor \vec{V}(1,2)=(-2,-6).
Calcular o ângulo \phi_V medido a partir do eixo x positivo:
Uma forma alternativa é dar o ângulo no intervalo (-180^\circ,180^\circ]: \phi_V\approx -108{,}435^\circ. Aqui usaremos a forma 0^\circ–360^\circ: 251{,}565^\circ.
Passo 7
Determinar a direção da aceleração máxima.
Mesma lógica: a componente máxima da aceleração acontece na direção do vetor aceleração \vec{a}(1,2)=(18,26). Calcular o ângulo \phi_a: