Um campo de velocidade bidimensional é dado por \vec{V}=\left(x^{2}-y^{2}+x\right) \vec{\imath}-(2 x y+y) \vec{\jmath} em unidades arbitrárias. Em (x, y)=(1,2), calcule (a) as acelerações a_{x} \mathbf{e} a_{y}, (b) o componente de velocidade na direção \theta=40^{\circ} (c) a direção da velocidade máxima e (d) a direção da aceleração máxima, (e) determine se o escoamento é: rotacional, compressível.

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidade bidimensional
\vec{V}(x,y)=\bigl(u(x,y),\,v(x,y)\bigr)=\bigl(x^{2}-y^{2}+x,\;-(2xy+y)\bigr)
e pede, no ponto (x,y)=(1,2):
(a) as componentes da aceleração a_x e a_y;
(b) o componente da velocidade na direção \theta=40^\circ;
(c) a direção (ângulo) para a qual a velocidade tem módulo máximo;
(d) a direção (ângulo) para a qual a aceleração tem módulo máximo;
(e) determinar se o escoamento é rotacional e se é compressível.
Informações relevantes que vamos usar (extraídas do enunciado):
  • u(x,y)=x^{2}-y^{2}+x.
  • v(x,y)=-(2xy+y)=-y(2x+1).
  • Ponto de interesse: (x,y)=(1,2).
  • A aceleração material (para escoamento estacionário) é dada por \vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}, isto é
a_x=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y},\qquad a_y=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}.
  • O componente de \vec{V} na direção \theta é \vec{V}\cdot\hat{e}_\theta=u\cos\theta+v\sin\theta.
  • O ângulo de uma vetor (A_x,A_y) mede-se por \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{A_y}{A_x}\right) com cuidado de ajustar o quadrante.

Passo 2

Calcular u e v no ponto (1,2).
u(1,2)=1^{2}-2^{2}+1=1-4+1=-2.
v(1,2)=-(2\cdot1\cdot2+2)=-(4+2)=-6.
Portanto no ponto temos \vec{V}(1,2)=(-2,\,-6).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias para a aceleração. Vamos derivar simbolicamente e depois avaliar em (1,2).
Derivadas de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x+1,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2y.
Derivadas de v:
\frac{\partial v}{\partial x}=-2y,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-(2x+1).
Avaliar em (1,2):
\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{(1,2)}=2\cdot1+1=3,
\frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{(1,2)}=-2\cdot2=-4,
\frac{\partial v}{\partial x}\Big|_{(1,2)}=-2\cdot2=-4,
\frac{\partial v}{\partial y}\Big|_{(1,2)}=-(2\cdot1+1)=-3.

Passo 4

Calcular as componentes da aceleração pelo derivada material:
a_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}, \qquad a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo os valores em (1,2) ( u=-2, v=-6, \partial u/\partial x=3, \partial u/\partial y=-4, \partial v/\partial x=-4, \partial v/\partial y=-3):
a_x = (-2)\cdot 3 + (-6)\cdot(-4) = -6 + 24 = 18.
a_y = (-2)\cdot(-4) + (-6)\cdot(-3) = 8 + 18 = 26.
Portanto \vec{a}(1,2)=(18,\;26).

Passo 5

Calcular o componente da velocidade na direção \theta=40^\circ.
A fórmula do componente é \displaystyle V_{\theta} = u\cos\theta + v\sin\theta.
Usando u=-2, v=-6 e \theta=40^\circ:
Primeiro valores trigonométricos aproximados:
\cos 40^\circ \approx 0{,}766045,\qquad \sin 40^\circ \approx 0{,}642788.
Então
V_{40^\circ}=(-2)\cdot 0{,}766045 + (-6)\cdot 0{,}642788 = -1{,}53209 - 3{,}85673 = -5{,}38882\\ (\text{aprox.}).
Arredondando: V_{40^\circ}\approx -5{,}389.

Passo 6

Determinar a direção da velocidade máxima.
Para um vetor \vec{V}, o componente máximo (maior projeção) ocorre na direção do próprio vetor \vec{V}. Assim a direção da velocidade máxima é a direção do vetor \vec{V}(1,2)=(-2,-6).
Calcular o ângulo \phi_V medido a partir do eixo x positivo:
\phi_V=\arctan\!\left(\frac{v}{u}\right)=\arctan\!\left(\frac{-6}{-2}\right)=\arctan(3)\approx 71{,}565^\circ.
Como u<0 e v<0 (ambos negativos), o vetor está no terceiro quadrante, então somamos 180^\circ:
\phi_V = 180^\circ + 71{,}565^\circ = 251{,}565^\circ\\ (\text{aprox.}).
Uma forma alternativa é dar o ângulo no intervalo (-180^\circ,180^\circ]: \phi_V\approx -108{,}435^\circ. Aqui usaremos a forma 0^\circ 360^\circ: 251{,}565^\circ.

Passo 7

Determinar a direção da aceleração máxima.
Mesma lógica: a componente máxima da aceleração acontece na direção do vetor aceleração \vec{a}(1,2)=(18,26). Calcular o ângulo \phi_a:
\phi_a=\arctan\!\left(\frac{26}{18}\right)=\arctan\!\left(1{,}444444\ldots\right)\approx 55{,}007^\circ.
Aqui a_x>0 e a_y>0 então o vetor está no primeiro quadrante e este ângulo já é o ângulo correto no intervalo 0^\circ 360^\circ.

Passo 8

Determinar se o escoamento é rotacional e se é compressível (explicando as fórmulas).
Rotacional (vorticidade em 2D): a componente vertical da vorticidade é
\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
Usando as expressões gerais encontradas antes \partial v/\partial x=-2y e \partial u/\partial y=-2y,
\omega_z = -2y - (-2y)=0.
Portanto a vorticidade é nula em todo o domínio: o escoamento é irrotacional (não rotacional).
Compressibilidade (divergência): a divergência é
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}.
Usando \partial u/\partial x=2x+1 e \partial v/\partial y=-(2x+1),
\nabla\cdot\vec{V}=(2x+1)-(2x+1)=0.
A divergência é zero em todo lugar, logo o escoamento é incompressível (não compressível).

Resposta

(a) a_x=18,\quad a_y=26
(b) V_{40^\circ}\approx -5{,}389
(c) Direção da velocidade máxima \phi_V\approx 251{,}565^\circ (ou -108{,}435^\circ)
(d) Direção da aceleração máxima \phi_a\approx 55{,}007^\circ
(e) Rotacional? Não (irrotacional, \omega_z=0). Compressível? Não (incompressível, \nabla\cdot\vec{V}=0).

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