CEFET-RJ - Maracanã
Cálculo a Várias Variáveis
Trabalho 2
Engenharia Ambiental
Calcule a integral dupla no corte circular furado (R(-x \leq y \leq x)), de raio 1 até 2 centrado na origem
Cálculo a Várias Variáveis
Engenharia Ambiental
Calcule a integral dupla no corte circular furado (R(-x \leq y \leq x)), de raio 1 até 2 centrado na origem
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede calcular a integral dupla
- A região
é o “corte circular furado” (anel) centrado na origem, com raio interno e externo , i.e. . - Além disso a região está limitada pelas retas
e ; isso é dado pela condição
Portanto a integral é sobre a porção do anel entre as duas retas
e
. O objetivo é calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Escolha do método e por que ele é conveniente.
- Por que usar coordenadas polares? Porque a região é um anel circular (limites radiais fáceis) e as retas que limitam a região passam pela origem (limites angulares fáceis). Em polares fica muito direto.
- Recordando as fórmulas de coordenadas polares:
-
, -
, - o elemento de área é
.
-
- Vou traduzir a região
para limites em .
Passo 3
Determinar os limites em
a partir de
.
- Substituindo
e obtém-se
- Como
na região (é um anel com ), pode dividir por :
- Essa desigualdade é equivalente a
. Para que isso seja possível é necessário (caso contrário o intervalo seria vazio), e então pode dividir por obtendo
- Logo
fica entre e . Concluímos que os limites angulares são
Passo 4
Determinar os limites em
e escrever a integral em polares.
- Pelas informações do enunciado os limites radiais são
. - A função integranda em polares:
. - Multiplicando pelo Jacobiano
temos o integrando em :
- Assim a integral fica
Passo 5
Integrar primeiramente em
.
- A integral interna em
é
- Sabendo que
, obtemos
- Portanto a integral reduz-se a
Passo 6
Integrar em
.
- Lembrando que
, temos
- Avaliando:
logo
Passo 7
Combinar os resultados e comentar sobre convergência.
- Multiplicando pelo fator
obtido antes, a integral total é
- Observação sobre singularidade: a função
tem singularidade em , mas a região exige , onde , ou seja, dentro do domínio considerado. Portanto não há problema de integrabilidade aqui e o cálculo é legítimo.