CEFET-RJ - Maracanã
Cálculo a Várias Variáveis
Trabalho 2
Engenharia Ambiental
Calcule a integral dupla no corte circular furado (R(-x \leq y \leq x)), de raio 1 até 2 centrado na origem
\iint_{R} \frac{1}{x^{2}} d A

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{1}{x^{2}}\,dA.
  • A região R é o “corte circular furado” (anel) centrado na origem, com raio interno 1 e externo 2, i.e. 1 \le \sqrt{x^{2}+y^{2}} \le 2.
  • Além disso a região está limitada pelas retas y=-x e y=x; isso é dado pela condição
- x \le y \le x.
Portanto a integral é sobre a porção do anel entre as duas retas y=-x e y=x. O objetivo é calcular o valor numérico da integral.

Passo 2

Escolha do método e por que ele é conveniente.
  • Por que usar coordenadas polares? Porque a região é um anel circular (limites radiais fáceis) e as retas que limitam a região passam pela origem (limites angulares fáceis). Em polares fica muito direto.
  • Recordando as fórmulas de coordenadas polares:
    • x = r\cos\theta,
    • y = r\sin\theta,
    • o elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta.
  • Vou traduzir a região R para limites em (r,\theta).

Passo 3

Determinar os limites em \theta a partir de -x \le y \le x.
  • Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta obtém-se
- r\cos\theta \le r\sin\theta \le r\cos\theta.
  • Como r>0 na região (é um anel com 1\le r\le 2), pode dividir por r:
- \cos\theta \le \sin\theta \le \cos\theta.
  • Essa desigualdade é equivalente a |\sin\theta| \le \cos\theta. Para que isso seja possível é necessário \cos\theta \ge 0 (caso contrário o intervalo [- \cos\theta,\cos\theta] seria vazio), e então pode dividir por \cos\theta obtendo
-1 \le \tan\theta \le 1.
  • Logo \theta fica entre -\tfrac{\pi}{4} e \tfrac{\pi}{4}. Concluímos que os limites angulares são
-\tfrac{\pi}{4} \le \theta \le \tfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Determinar os limites em r e escrever a integral em polares.
  • Pelas informações do enunciado os limites radiais são 1 \le r \le 2.
  • A função integranda em polares: \dfrac{1}{x^{2}} = \dfrac{1}{(r\cos\theta)^{2}} = \dfrac{1}{r^{2}\cos^{2}\theta}.
  • Multiplicando pelo Jacobiano r temos o integrando em r,\theta:
\frac{1}{r^{2}\cos^{2}\theta}\cdot r = \frac{1}{r\cos^{2}\theta}.
  • Assim a integral fica
\iint_{R}\frac{1}{x^{2}}\,dA = \int_{\theta=-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}\int_{r=1}^{2} \frac{1}{r\cos^{2}\theta}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar primeiramente em r.
  • A integral interna em r é
\int_{r=1}^{2}\frac{1}{r\cos^{2}\theta}\,dr = \frac{1}{\cos^{2}\theta}\int_{1}^{2}\frac{1}{r}\,dr.
  • Sabendo que \int \frac{1}{r}\,dr = \ln r, obtemos
\int_{1}^{2}\frac{1}{r}\,dr = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2.
  • Portanto a integral reduz-se a
\iint_{R}\frac{1}{x^{2}}\,dA = \ln 2 \int_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^{2}\theta}\,d\theta.

Passo 6

Integrar em \theta.
  • Lembrando que \dfrac{d}{d\theta}(\tan\theta) = \dfrac{1}{\cos^{2}\theta}, temos
\int_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^{2}\theta}\,d\theta = \left[\tan\theta\right]_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}.
  • Avaliando:
\tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = 1,\qquad \tan\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = -1,
logo
\left[\tan\theta\right]_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}} = 1 - (-1) = 2.

Passo 7

Combinar os resultados e comentar sobre convergência.
  • Multiplicando pelo fator \ln 2 obtido antes, a integral total é
\iint_{R}\frac{1}{x^{2}}\,dA = \ln 2 \cdot 2 = 2\ln 2.
  • Observação sobre singularidade: a função \dfrac{1}{x^{2}} tem singularidade em x=0, mas a região R exige -\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}, onde \cos\theta>0, ou seja, x=r\cos\theta>0 dentro do domínio considerado. Portanto não há problema de integrabilidade aqui e o cálculo é legítimo.

Resposta

\,2\ln 2\,

Exercícios relacionados