CEFET-RJ - Maracanã
Cálculo a Várias Variáveis
Trabalho 2
Engenharia Ambiental
Calcule a integral dupla no corte circular (R(0 \leq y \leq x)), de raio 1 até (e) (número de Euler) centrado na origem
\iint_{R} \frac{y}{x^{3}+x y^{2}} d A

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{y}{x^{3}+x y^{2}}\,dA.
  • A região R é um setor circular centrado na origem com raio variando de 1 até e (onde e é o número de Euler) e sujeito à condição 0\le y\le x.
  • A condição 0\le y\le x indica que estamos no primeiro quadrante entre a reta y=0 e a reta y=x. Em coordenadas polares isso corresponde ao ângulo variando de \theta=0 até \theta=\pi/4.
  • Portanto os limites em coordenadas polares serão 1\le r\le e e 0\le \theta\le \pi/4.

Passo 2

Primeiro simplifico algebricamente o integrando para ver como ele se comporta e para facilitar a mudança de variável.
\frac{y}{x^{3}+x y^{2}}=\frac{y}{x(x^{2}+y^{2})}.
Observe que x aparece no denominador; é importante notar que na região R temos x>0 (porque 0\le\theta\le\pi/4 implica \cos\theta>0 e r>0), então não há problema de divisão por zero na região de integração.

Passo 3

Agora ensino a mudança para coordenadas polares — passo essencial para setores circulares.
  • Em coordenadas polares usamos as substituições
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • O elemento de área transforma como
dA = r\,dr\,d\theta,
que é o jacobiano da transformação cartesianas \to polares. Intuitivamente, cada pequeno retângulo em r,\theta tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta.
Substituo o integrando em polares. Começo pela expressão simplificada:
\frac{y}{x(x^{2}+y^{2})}=\frac{r\sin\theta}{(r\cos\theta)(r^{2})}=\frac{\sin\theta}{r^{2}\cos\theta}=\frac{\tan\theta}{r^{2}}.
Multiplicando pelo jacobiano r obtemos a função a integrar em r,\theta:
\frac{\tan\theta}{r^{2}}\cdot r=\frac{\tan\theta}{r}.

Passo 4

Escrevo a integral dupla em coordenadas polares com os limites identificados no Passo 1:
\iint_{R}\frac{y}{x^{3}+x y^{2}}\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=1}^{e}\frac{\tan\theta}{r}\,dr\,d\theta.
Aqui a integral separa em produto porque o integrando é \tan\theta vezes 1/r.
Calculo primeiro a integral em r:
\int_{r=1}^{e}\frac{1}{r}\,dr=[\ln r]_{1}^{e}=\ln e-\ln 1=1-0=1.
Portanto a integral interna dá 1, e sobra:
\int_{0}^{\pi/4}\tan\theta\cdot 1\,d\theta=\int_{0}^{\pi/4}\tan\theta\,d\theta.

Passo 5

Agora calculo a integral em \theta. Lembre a fórmula e a técnica:
  • Uma primitiva de \tan\theta é -\ln|\cos\theta|. Isso pode ser visto usando a substituição u=\cos\theta, já que \frac{d}{d\theta}(\cos\theta)=-\sin\theta e \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}.
  • Assim
\int_{0}^{\pi/4}\tan\theta\,d\theta=[-\ln|\cos\theta|]_{0}^{\pi/4}=-\ln\bigl(\cos(\pi/4)\bigr)+\ln\bigl(\cos 0\bigr).
  • Calculando os cossenos: \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos 0=1. Então
-\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\ln 1=-\ln\!\left(2^{-1/2}\right)+0=\frac{1}{2}\ln 2.

Passo 6

Portanto a integral dupla avaliada sobre a região R vale
\frac{1}{2}\ln 2.
Força aí — você acabou de ver como reconhecer a região, simplificar o integrando e usar coordenadas polares para transformar a integral em algo que separa e é bem manejável numa prova.

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln 2

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