CEFET-RJ - Maracanã
Cálculo a Várias Variáveis
Trabalho 2
Engenharia Ambiental
Calcule a integral dupla no corte circular (R(0 \leq y \leq x)), de raio 1 até (e) (número de Euler) centrado na origem
Cálculo a Várias Variáveis
Engenharia Ambiental
Calcule a integral dupla no corte circular (R(0 \leq y \leq x)), de raio 1 até (e) (número de Euler) centrado na origem
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- O enunciado pede para calcular a integral dupla
- A região
é um setor circular centrado na origem com raio variando de até (onde é o número de Euler) e sujeito à condição . - A condição
indica que estamos no primeiro quadrante entre a reta e a reta . Em coordenadas polares isso corresponde ao ângulo variando de até . - Portanto os limites em coordenadas polares serão
e .
Passo 2
Primeiro simplifico algebricamente o integrando para ver como ele se comporta e para facilitar a mudança de variável.
Observe que
aparece no denominador; é importante notar que na região
temos
(porque
implica
e
), então não há problema de divisão por zero na região de integração.
Passo 3
Agora ensino a mudança para coordenadas polares — passo essencial para setores circulares.
- Em coordenadas polares usamos as substituições
- O elemento de área transforma como
que é o jacobiano da transformação cartesianas
polares. Intuitivamente, cada pequeno retângulo em
tem área aproximada
.
Substituo o integrando em polares. Começo pela expressão simplificada:
Multiplicando pelo jacobiano
obtemos a função a integrar em
:
Passo 4
Escrevo a integral dupla em coordenadas polares com os limites identificados no Passo 1:
Aqui a integral separa em produto porque o integrando é
vezes
.
Calculo primeiro a integral em
:
Portanto a integral interna dá
, e sobra:
Passo 5
Agora calculo a integral em
. Lembre a fórmula e a técnica:
- Uma primitiva de
é . Isso pode ser visto usando a substituição , já que e . - Assim
- Calculando os cossenos:
e . Então
Passo 6
Portanto a integral dupla avaliada sobre a região
vale
Força aí — você acabou de ver como reconhecer a região, simplificar o integrando e usar coordenadas polares para transformar a integral em algo que separa e é bem manejável numa prova.