Considere 1 kg de água no ponto triplo. O volume da fase líquida é igual ao volume da fase sólida e o volume da fase vapor é igual a 10^{4} vezes o da fase líquida. Determine a massa de água em cada fase.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou escrever tudo de forma bem clara para a gente não se perder):
  • Massa total de água: 1\\ \text{kg}.
  • Denotando por V_{\ell}, V_{s} e V_{v} os volumes das fases líquida, sólida e vapor, respectivamente, o enunciado afirma:
    • V_{s}=V_{\ell}.
    • V_{v}=10^{4}V_{\ell}.
  • O que se pede: determinar a massa de água em cada fase — isto é, encontrar m_{\ell}, m_{s} e m_{v} tais que m_{\ell}+m_{s}+m_{v}=1\\ \text{kg},obedecendo às relações de volumes dadas acima.

Passo 2

Vamos definir quantidades físicas básicas e escrever relações usuais (mini-aula rápida e prática).
  • Densidade: a densidade de uma substância é a razão entre massa e volume. Para cada fase i\in\{\ell,s,v\} escrevemos \rho_{i}=\frac{m_{i}}{V_{i}}.Assim o volume em função da massa é V_{i}=\frac{m_{i}}{\rho_{i}}.Explicando com calma: \rho_{i} tem unidades \text{kg}\,\text{m}^{-3}; se eu sei a massa m_{i} e a densidade \rho_{i}, então o volume é m_{i}/\rho_{i}. É com essa relação que vamos ligar massas e volumes nas condições do enunciado.
  • Especificamente: V_{\ell}=\frac{m_{\ell}}{\rho_{\ell}},\qquad V_{s}=\frac{m_{s}}{\rho_{s}},\qquad V_{v}=\frac{m_{v}}{\rho_{v}}.

Passo 3

Usando as relações de volume fornecidas pelo enunciado, escrevemos equações em m_{i} e \rho_{i}.
  • Da igualdade V_{s}=V_{\ell} segue \frac{m_{s}}{\rho_{s}}=\frac{m_{\ell}}{\rho_{\ell}}.
  • Da segunda condição V_{v}=10^{4}V_{\ell} segue \frac{m_{v}}{\rho_{v}}=10^{4}\,\frac{m_{\ell}}{\rho_{\ell}}.
Essas duas equações ligam m_{s} e m_{v} a m_{\ell}.

Passo 4

Isolamos m_{s} e m_{v} em função de m_{\ell}.
  • Da primeira equação: m_{s}=m_{\ell}\,\frac{\rho_{s}}{\rho_{\ell}}.
  • Da segunda equação: m_{v}=10^{4}\,m_{\ell}\,\frac{\rho_{v}}{\rho_{\ell}}.

Passo 5

Aplicamos a condição de massa total m_{\ell}+m_{s}+m_{v}=1 substituindo as expressões obtidas.
  • Substituindo, m_{\ell}+m_{\ell}\frac{\rho_{s}}{\rho_{\ell}}+10^{4}m_{\ell}\frac{\rho_{v}}{\rho_{\ell}}=1.
  • Fatorando m_{\ell}: m_{\ell}\Bigg(1+\frac{\rho_{s}}{\rho_{\ell}}+10^{4}\frac{\rho_{v}}{\rho_{\ell}}\Bigg)=1.
  • Logo, isolando m_{\ell}, m_{\ell}=\frac{1}{1+\dfrac{\rho_{s}}{\rho_{\ell}}+10^{4}\dfrac{\rho_{v}}{\rho_{\ell}}} =\frac{\rho_{\ell}}{\rho_{\ell}+\rho_{s}+10^{4}\rho_{v}}.
  • Usando as fórmulas de m_{s} e m_{v} em termos de m_{\ell} temos, de modo análogo, m_{s}=\frac{\rho_{s}}{\rho_{\ell}+\rho_{s}+10^{4}\rho_{v}},\qquad m_{v}=\frac{10^{4}\rho_{v}}{\rho_{\ell}+\rho_{s}+10^{4}\rho_{v}}.
Isto é elegante: as massas ficam proporcionais aos “pesos” \rho_{\ell}, \rho_{s} e 10^{4}\rho_{v}.

Passo 6

Agora precisamos dos valores numéricos das densidades no ponto triplo. Vou usar valores típicos e bem conhecidos para água no ponto triplo:
  • Densidade da água líquida à temperatura de 0{,}01^\circ\text{C} (ponto triplo): \rho_{\ell}=999{,}8425\\ \text{kg}\,\text{m}^{-3} (valor tabulado).
  • Densidade do gelo à temperatura próxima de 0^\circ\text{C}: \rho_{s}=916{,}8\\ \text{kg}\,\text{m}^{-3} (valor usualmente usado).
  • Para a fase vapor no ponto triplo: a pressão do ponto triplo da água é p_{t}\approx611{,}657\\ \text{Pa} e a temperatura é T_{t}=273{,}16\\ \text{K}. Podemos calcular a densidade do vapor usando a lei dos gases ideais (boa aproximação nessas condições de pressão muito baixa): \rho_{v}=\frac{p_{t}}{R_{v}T_{t}},onde R_{v} é a constante específica do vapor d’água. Como a constante universal dos gases é R=8{,}314462618\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1} e a massa molar da água é M\approx0{,}01801528\\ \text{kg}\,\text{mol}^{-1}, temos R_{v}=\frac{R}{M}\approx\frac{8{,}314462618}{0{,}01801528}\approx461{,}52\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}.Portanto \rho_{v}\approx\frac{611{,}657}{461{,}52\cdot273{,}16}\approx0{,}00485\\ \text{kg}\,\text{m}^{-3}.

Passo 7

Calculemos agora o denominador comum e as massas numéricas.
  • Primeiro calcule 10^{4}\rho_{v}: 10^{4}\rho_{v}\approx10^{4}\times0{,}00485\\ \text{kg}\,\text{m}^{-3}=48{,}51\\ \text{kg}\,\text{m}^{-3}.
  • Denominador D=\rho_{\ell}+\rho_{s}+10^{4}\rho_{v} \approx999{,}8425+916{,}8+48{,}51=1965{,}153\\ \text{kg}\,\text{m}^{-3}.
  • Agora as massas: m_{\ell}=\frac{\rho_{\ell}}{D}\approx\frac{999{,}8425}{1965{,}153}\approx0{,}5087\\ \text{kg},
m_{s}=\frac{\rho_{s}}{D}\approx\frac{916{,}8}{1965{,}153}\approx0{,}4665\\ \text{kg},
m_{v}=\frac{10^{4}\rho_{v}}{D}\approx\frac{48{,}51}{1965{,}153}\approx0{,}0248\\ \text{kg}.
  • Verificação rápida: m_{\ell}+m_{s}+m_{v}\approx0{,}5087+0{,}4665+0{,}0248=1{,}0000\\ \text{kg} (fechou bem).

Passo 8

Interpretação prática (curtinha e motivadora): apesar do vapor ocupar um volume muito maior (fator 10^{4} em volume), sua densidade é tão baixa que a massa na fase vapor é pequena (aprox 25\\ \text{g}). A maior parte da massa fica entre líquido e sólido, com o líquido tendo um pouco mais de massa que o sólido nas condições dadas.

Resposta

m_{\ell}\approx0{,}5087\\ \text{kg}
m_{s}\approx0{,}4665\\ \text{kg}
m_{v}\approx0{,}0248\\ \text{kg}

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