Considere 1 kg de água no ponto triplo. O volume da fase líquida é igual ao volume da fase sólida e o volume da fase vapor é igual a
vezes o da fase líquida. Determine a massa de água em cada fase.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou escrever tudo de forma bem clara para a gente não se perder):
- Massa total de água:
. - Denotando por
, e os volumes das fases líquida, sólida e vapor, respectivamente, o enunciado afirma: -
. -
.
-
- O que se pede: determinar a massa de água em cada fase — isto é, encontrar
, e tais que obedecendo às relações de volumes dadas acima.
Passo 2
Vamos definir quantidades físicas básicas e escrever relações usuais (mini-aula rápida e prática).
- Densidade: a densidade de uma substância é a razão entre massa e volume. Para cada fase
escrevemos Assim o volume em função da massa é Explicando com calma: tem unidades ; se eu sei a massa e a densidade , então o volume é . É com essa relação que vamos ligar massas e volumes nas condições do enunciado. - Especificamente:
Passo 3
Usando as relações de volume fornecidas pelo enunciado, escrevemos equações em
e
.
- Da igualdade
segue - Da segunda condição
segue
Essas duas equações ligam
e
a
.
Passo 4
Isolamos
e
em função de
.
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Passo 5
Aplicamos a condição de massa total
substituindo as expressões obtidas.
- Substituindo,
- Fatorando
: - Logo, isolando
, - Usando as fórmulas de
e em termos de temos, de modo análogo,
Isto é elegante: as massas ficam proporcionais aos “pesos”
,
e
.
Passo 6
Agora precisamos dos valores numéricos das densidades no ponto triplo. Vou usar valores típicos e bem conhecidos para água no ponto triplo:
- Densidade da água líquida à temperatura de
(ponto triplo): (valor tabulado). - Densidade do gelo à temperatura próxima de
: (valor usualmente usado). - Para a fase vapor no ponto triplo: a pressão do ponto triplo da água é
e a temperatura é . Podemos calcular a densidade do vapor usando a lei dos gases ideais (boa aproximação nessas condições de pressão muito baixa): onde é a constante específica do vapor d’água. Como a constante universal dos gases é e a massa molar da água é , temos Portanto
Passo 7
Calculemos agora o denominador comum e as massas numéricas.
- Primeiro calcule
: - Denominador
- Agora as massas:
- Verificação rápida:
(fechou bem).
Passo 8
Interpretação prática (curtinha e motivadora): apesar do vapor ocupar um volume muito maior (fator
em volume), sua densidade é tão baixa que a massa na fase vapor é pequena (aprox
). A maior parte da massa fica entre líquido e sólido, com o líquido tendo um pouco mais de massa que o sólido nas condições dadas.