Considere dois tanques, A e B , ligados por uma tubulação e válvula. O tanque A tem um volume de 3,0 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} e contém refrigerante \mathrm{R}-134 a a 30^{\circ} \mathrm{C}, sendo 10 \% em volume na fase líquida e 90 \% na fase vapor. O tanque B está vazio. A válvula é aberta e, após um certo intervalo de tempo, os tanques ficam à mesma pressão, de 0,2 \mathrm{MPa}. Durante esse processo, há transferência de calor para manter a temperatura do refrigerante \mathrm{R}-134 \mathrm{a} a 30^{\circ} \mathrm{C}. Determine o volume do tanque B.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo bem explicitamente para a gente não se confundir):
  • Volume do tanque A: V_A = 3,0 \times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
  • No tanque A, a carga de \mathrm{R}\text{-}134\mathrm{a} está a 30^\circ\mathrm{C} e é 10\% do volume em fase líquida e 90\% do volume em fase vapor. Logo:
    • Volume líquido inicial em A: V_{l,i}=0{,}10\,V_A.
    • Volume vapor inicial em A: V_{v,i}=0{,}90\,V_A.
  • O tanque B está vazio inicialmente: V_B é o que queremos determinar.
  • A válvula é aberta e, após equilíbrio, ambos os tanques ficam à mesma pressão p_f = 0{,}2\\ \mathrm{MPa}. Durante o processo a temperatura do refrigerante é mantida em 30^\circ\mathrm{C}.
  • Objetivo: determinar o volume do tanque B, isto é V_B.

Passo 2

Primeira ideia física e checagem importante (isso define que modelo usar):
  • Quando a temperatura é mantida em 30^\circ\mathrm{C} e havia inicialmente líquido + vapor em equilíbrio, a pressão inicial no tanque A é a pressão de saturacão de \mathrm{R}\text{-}134\mathrm{a} a 30^\circ\mathrm{C}. Vou usar os valores da tabela de propriedades do \mathrm{R}\text{-}134\mathrm{a} (peguei esses números em uma tabela de vapor do \mathrm{R}\text{-}134\mathrm{a}):
    • Pressão de saturacão a 30^\circ\mathrm{C}: p_\mathrm{sat}(30^\circ\mathrm{C}) \approx 0{,}718\\ \mathrm{MPa}.
    • Volume específico do líquido saturado a 30^\circ\mathrm{C}: v_f(30^\circ\mathrm{C}) \approx 7{,}8\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3/kg}.
    • Volume específico do vapor saturado a 30^\circ\mathrm{C}: v_g(30^\circ\mathrm{C}) \approx 3{,}44\times 10^{-2}\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Como a pressão final p_f=0{,}2\\ \mathrm{MPa} é muito menor que p_\mathrm{sat}(30^\circ\mathrm{C}), a pressão final é abaixo da pressão de saturação a 30^\circ\mathrm{C}. Isso significa que, a 30^\circ\mathrm{C}, não existe líquido em equilíbrio a 0{,}2\\ \mathrm{MPa} — portanto o refrigerante final será vapor (superaquecido) em todo o volume combinado. Assim o estado final é todo vapor a T=30^\circ\mathrm{C} e p=0{,}2\\ \mathrm{MPa}.
  • Consequência prática: toda massa inicial de fluido no tanque A permanece no conjunto A+B (massa total conservada) e no final estará na forma de vapor com certo volume específico v_f^{\text{(final)}}. Então: V_A + V_B = m_{\text{total}}\,v_{\text{final}}.Vamos calcular m_{\text{total}} a partir do estado inicial (usando v_f e v_g da tabela) e v_{\text{final}} a partir da relação apropriada para vapor (explico abaixo).

Passo 3

Calcular as quantidades iniciais de volumes líquido e vapor em A:
  • V_{l,i} = 0{,}10\,V_A = 0{,}10 \times 3{,}0\times 10^{-3} = 3{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.
  • V_{v,i} = 0{,}90\,V_A = 0{,}90 \times 3{,}0\times 10^{-3} = 2{,}7\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
Agora calcular as massas das fases iniciais.
  • Fórmula usada: massa da fase = volume dessa fase / volume específico da fase.
    • Massa do líquido inicial: m_{l,i}=\frac{V_{l,i}}{v_f(30^\circ\mathrm{C})} =\frac{3{,}0\times 10^{-4}}{7{,}8\times 10^{-4}} =0{,}3846\\ \mathrm{kg}\\ (\text{aprox.}).
    • Massa do vapor inicial: m_{v,i}=\frac{V_{v,i}}{v_g(30^\circ\mathrm{C})} =\frac{2{,}7\times 10^{-3}}{3{,}44\times 10^{-2}} =0{,}07849\\ \mathrm{kg}\\ (\text{aprox.}).
  • Massa total (conservada): m_{\text{total}} = m_{l,i}+m_{v,i} \approx 0{,}3846 + 0{,}07849 = 0{,}4631\\ \mathrm{kg}.
Vou destacar: usei os v_f e v_g da tabela de \mathrm{R}\text{-}134\mathrm{a} a 30^\circ\mathrm{C}; por isso essas massas são confiáveis para o enunciado que deu temperatura e composição inicial.

Passo 4

Determinar o volume específico do vapor no estado final ( T=30^\circ\mathrm{C}, p_f=0{,}2\\ \mathrm{MPa}).
Explicação didática do modelo: para vapor superaquecido, uma aproximação comum no ensino básico é usar a equação dos gases ideais
p v = R_{\text{sp}} T,
onde:
  • p é a pressão absoluta (em Pa),
  • v é o volume específico (em \mathrm{m^3/kg}),
  • T é a temperatura absoluta (em K),
  • R_{\text{sp}} é a constante do gás específico do fluido (em \mathrm{J/(kg\;K)}), obtida por R_{\text{sp}}=R_u/M, com R_u a constante universal dos gases e M a massa molar do refrigerante.
Calcular R_{\text{sp}} do \mathrm{R}\text{-}134\mathrm{a}:
  • Massa molar aproximada: M \approx 102{,}03\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
  • R_u = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\;K)}.
  • Logo R_{\text{sp}}=\frac{R_u}{M} =\frac{8{,}314462618}{0{,}10203} \approx 81{,}45\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
Converter temperatura e pressão:
  • T = 30^\circ\mathrm{C} = 303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • p_f = 0{,}2\\ \mathrm{MPa} = 2,00\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Agora usar a equação dos gases ideais (como aproximação adequada para vapor superaquecido moderado):
v_{\text{final}}=\frac{R_{\text{sp}}\,T}{p_f} = \frac{81{,}45\times 303{,}15}{2{,}00\times 10^{5}} \approx 0{,}12346\\ \mathrm{m^3/kg}.
Observação: esta é uma aproximação razoável para vapor superaquecido a baixa pressão; tabelas de vapor superaquecido dariam valor muito próximo.

Passo 5

Calcular o volume total necessário para acomodar toda a massa como vapor à condição final e daí obter V_B.
  • Volume total final: V_{\text{total}} = m_{\text{total}}\,v_{\text{final}} \approx 0{,}4631\times 0{,}12346 \approx 0{,}05717\\ \mathrm{m^3}.
  • Como o tanque A já tem volume V_A=3{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}, o volume do tanque B exigido é V_B = V_{\text{total}} - V_A \approx 0{,}05717 - 0{,}00300 = 0{,}05417\\ \mathrm{m^3}.
Interpretação prática: V_B\approx 5,4\times 10^{-2}\\ \mathrm{m^3}, isto é cerca de 54\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Breve verificação e comentários (para te dar segurança na prova):
  • A maior parte da massa inicial estava no líquido (mesmo sendo só 10\% do volume), porque o líquido tem volume específico muito pequeno. Por isso, quando esse líquido evapora na pressão final baixa, o volume necessário aumenta bastante.
  • A aproximação do gás ideal foi usada para o vapor final; para maior precisão pode-se consultar tabela de vapor superaquecido de \mathrm{R}\text{-}134\mathrm{a}, mas o resultado estará muito próximo ao que obtivemos.
  • Se na sua prova houver tabela de propriedades, use os v_f, v_g, e (se disponível) o v do vapor superaquecido a p=0{,}2\\ \mathrm{MPa} e T=30^\circ\mathrm{C} para obter resposta mais precisa.

Resposta

V_B \approx 5,417\times 10^{-2}\\ \mathrm{m^3} (aproximadamente 54\\ \mathrm{L}).

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