Derive:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é o produto de duas partes:
e . - Há uma restrição natural de domínio:
exige e não está definida em para . Portanto, a derivada só faz sentido onde ambas estão definidas.
Passo 2
Regra que vamos usar (produto): se
e
são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
Explicando:
é a taxa de variação de
e
é a taxa de variação de
. A fórmula diz que a variação do produto vem da soma das variações de cada fator, uma vez mantendo o outro fixo.
Aplicamos isso definindo
portanto
Passo 3
Calcular
. Primeiro reescrevemos
como
para usar a regra para potências:
regra para potência: para ,
regra para potência: para
Aplicando:
-
(a derivada da exponencial é ela mesma). -
(válido para ).
Logo
Passo 4
Calcular
com
. Uma forma direta é escrever
e usar a regra do quociente; o resultado padrão é
Breve justificativa rápida: aplicando quociente em
dá
Passo 5
Substituir
,
,
e
na regra do produto:
Esta é a forma direta e já correta da derivada. Pode-se, se quiser, reescrever
como
ou fatorar
para obter formas alternativas, mas a expressão acima é a mais clara e pronta para uso em provas.