Derive:
g(x)=\left(e^{x}+\sqrt{x}\right) \operatorname{tg} x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
g(x)=\left(e^{x}+\sqrt{x}\right)\operatorname{tg}x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é o produto de duas partes: e^{x}+\sqrt{x} e \operatorname{tg}x.
  • Há uma restrição natural de domínio: \sqrt{x} exige x>0 e \operatorname{tg}x não está definida em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi para k\in\mathbb{Z}. Portanto, a derivada só faz sentido onde ambas estão definidas.

Passo 2

Regra que vamos usar (produto): se \,u(x) e \,v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando: u'(x) é a taxa de variação de u e v'(x) é a taxa de variação de v. A fórmula diz que a variação do produto vem da soma das variações de cada fator, uma vez mantendo o outro fixo.
Aplicamos isso definindo
u(x)=e^{x}+\sqrt{x},\qquad v(x)=\operatorname{tg}x,
portanto
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calcular u'(x). Primeiro reescrevemos \sqrt{x} como x^{1/2} para usar a regra para potências:
regra para potência: para n\in\mathbb{R},
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aplicando:
  • \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} (a derivada da exponencial é ela mesma).
  • \dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (válido para x>0).
Logo
u'(x)=e^{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Calcular v'(x) com v(x)=\operatorname{tg}x. Uma forma direta é escrever \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e usar a regra do quociente; o resultado padrão é
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\operatorname{sec}^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}.
Breve justificativa rápida: aplicando quociente em \dfrac{\sin x}{\cos x}
v'(x)=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Substituir u'(x), u(x), v'(x) e v(x) na regra do produto:
g'(x)=\left(e^{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\operatorname{tg}x+\left(e^{x}+\sqrt{x}\right)\operatorname{sec}^{2}x.
Esta é a forma direta e já correta da derivada. Pode-se, se quiser, reescrever \operatorname{sec}^{2}x como \dfrac{1}{\cos^{2}x} ou fatorar e^{x} para obter formas alternativas, mas a expressão acima é a mais clara e pronta para uso em provas.

Resposta

g'(x)=\left(e^{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\operatorname{tg}x+\left(e^{x}+\sqrt{x}\right)\operatorname{sec}^{2}x

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