Determine a corrente RMS de um SCR quando a corrente média DC for de 120 A , com um ângulo de condução \theta de 40^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a corrente RMS do SCR sabendo que a corrente média DC é de 120\\ \text{A} e o ângulo de condução é \theta=40^\circ.
Informações dadas:
  • I_{DC}=120\\ \text{A}.
  • \theta=40^\circ.
Assunção (padrão para esse tipo de exercício): a corrente durante o intervalo de condução é uma senoide proporcional à tensão da rede, ou seja
i(\omega t)=I_m\sin(\omega t)\quad\text{para}\quad 0\le \omega t\le \theta,
e i(\omega t)=0 no restante do período 0\le \omega t\le 2\pi. Vou usar essa forma para relacionar média e RMS com I_m.

Passo 2

Definição e fórmula da corrente média DC de um sinal periódico:
I_{DC}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} i(\omega t)\,d(\omega t).
Aplicando ao pulso senoidal descrito (só há corrente entre 0 e \theta):
I_{DC}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\theta} I_m\sin x\,dx,
onde foi usada a substituição x=\omega t (e dx=d(\omega t)). Calcule a integral:
\int_{0}^{\theta}\sin x\,dx=[- \cos x]_{0}^{\theta}=1-\cos\theta.
Portanto
I_{DC}=\frac{I_m}{2\pi}\bigl(1-\cos\theta\bigr).

Passo 3

Isolando I_m em função de I_{DC} e \theta:
I_m=\frac{2\pi\,I_{DC}}{1-\cos\theta}.
Aqui I_m é a amplitude máxima da corrente durante o intervalo de condução.

Passo 4

Definição e fórmula da corrente RMS de um sinal periódico:
I_{rms}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} [i(\omega t)]^{2}\,d(\omega t)}.
No nosso caso:
I_{rms}^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\theta} I_m^{2}\sin^{2}x\,dx.
Usamos a primitiva de \sin^{2}x:
\int \sin^{2}x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin(2x)}{4}.
Assim
\int_{0}^{\theta}\sin^{2}x\,dx=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin(2\theta)}{4}.
Logo
I_{rms}^{2}=\frac{I_m^{2}}{2\pi}\left(\frac{\theta}{2}-\frac{\sin(2\theta)}{4}\right) =\frac{I_m^{2}}{4\pi}\left(\theta-\frac{\sin(2\theta)}{2}\right).

Passo 5

Substituindo I_m obtido no Passo 3:
I_{rms}^{2}=\frac{1}{4\pi}\left(\theta-\frac{\sin(2\theta)}{2}\right)\left(\frac{2\pi\,I_{DC}}{1-\cos\theta}\right)^{2}.
Simplificando:
I_{rms}^{2}=I_{DC}^{2}\,\frac{\pi\left(\theta-\dfrac{\sin(2\theta)}{2}\right)}{(1-\cos\theta)^{2}}.
Tomando raiz:
I_{rms}=I_{DC}\,\frac{\sqrt{\pi\left(\theta-\dfrac{\sin(2\theta)}{2}\right)}}{1-\cos\theta}.
Essa é a expressão geral que relaciona I_{rms} com I_{DC} e \theta para o pulso senoidal descrito.

Passo 6

Agora calculamos numericamente para \theta=40^\circ.
Converter \theta para radianos:
\theta=40^\circ=\frac{40\pi}{180}=\frac{2\pi}{9}\approx 0,6981317008.
Calcule os termos necessários (aproximações):
\cos\theta\approx 0,7660444431, \qquad \sin(2\theta)=\sin(80^\circ)\approx 0,9848077530.
Então
1-\cos\theta\approx 0,2339555569,
\theta-\frac{\sin(2\theta)}{2}\approx 0,6981317008-0,4924038765=0,2057278243.
Multiplicando por \pi:
\pi\left(\theta-\frac{\sin(2\theta)}{2}\right)\approx 0,6463714523.
Raiz quadrada:
\sqrt{\pi\left(\theta-\frac{\sin(2\theta)}{2}\right)}\approx 0,803981.
Finalmente:
I_{rms}=120\cdot\frac{0,803981}{0,2339555569}\approx 120\cdot 3,437025\approx 412,44\\ \text{A}.

Resposta

412,44\\ \text{A}

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