Determine a corrente RMS de um SCR se a corrente média DC for de 80 A , com um ângulo de condução \theta de 20^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (e pede uma única coisa):
  • Corrente média contínua (média DC) fornecida: 80\\ \mathrm{A}.
  • Ângulo de condução: \theta = 20^\circ.
  • Pede: determinar a corrente eficaz (RMS) do SCR.
Suposição necessária (padrão nesse tipo de exercício): a corrente através do SCR é uma sequência periódica de pulsos retangulares de amplitude constante I_{0} durante o intervalo de condução de largura angular \theta em cada período elétrico 2\pi, e zero no restante do período. Ou seja, por períodos de \theta (em radianos) a corrente vale I_{0} e, fora disso, vale zero.

Passo 2

Definição e fórmula da corrente média (DC) para esse pulso periódico. A corrente média definida ao longo de um período 2\pi é a integral da corrente dividida por 2\pi. Para o pulso descrito isso dá:
I_{\mathrm{DC}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} i(t)\,dt
Como i(t)=I_{0} durante um ângulo de \theta e i(t)=0 no restante, a integral simplifica para:
I_{\mathrm{DC}}=\frac{1}{2\pi}\cdot I_{0}\cdot \theta.
Aqui:
  • I_{\mathrm{DC}} é a corrente média dada (80 A).
  • I_{0} é a amplitude do pulso (corrente durante a condução).
  • \theta é o ângulo de condução em radianos.
Resolvendo para I_{0}:
I_{0} = I_{\mathrm{DC}}\cdot\frac{2\pi}{\theta}.

Passo 3

Definição e fórmula da corrente RMS para esse pulso periódico. A corrente eficaz (RMS) é dada por
I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} i^{2}(t)\,dt }.
Para o pulso i(t)=I_{0} durante \theta e zero no restante:
I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\cdot I_{0}^{2}\cdot \theta} = I_{0}\sqrt{\frac{\theta}{2\pi}}.
Expliquei: a integral de i^2 só tem contribuição quando o pulso está ativo, então é I_{0}^{2}\theta.

Passo 4

Eliminando I_{0} usando a relação do Passo 2 e substituindo na expressão de I_{\mathrm{rms}} do Passo 3:
I_{\mathrm{rms}} = \left(I_{\mathrm{DC}}\cdot\frac{2\pi}{\theta}\right)\sqrt{\frac{\theta}{2\pi}} = I_{\mathrm{DC}}\sqrt{\frac{2\pi}{\theta}}.
Portanto temos uma fórmula direta que relaciona a corrente RMS com a média DC e o ângulo de condução:
I_{\mathrm{rms}}=I_{\mathrm{DC}}\sqrt{\frac{2\pi}{\theta}}.

Passo 5

Aplicando os números. Primeiro converter 20^\circ para radianos:
\theta = 20^\circ = \frac{20\pi}{180}=\frac{\pi}{9}\\ \text{rad}.
Calcular o fator:
\frac{2\pi}{\theta}=\frac{2\pi}{\pi/9}=18, \qquad \sqrt{\frac{2\pi}{\theta}}=\sqrt{18}\approx 4{,}242640687.
Agora multiplicar por I_{\mathrm{DC}}=80\\ \mathrm{A}:
I_{\mathrm{rms}} = 80\cdot\sqrt{18}\approx 80\cdot 4{,}242640687 \approx 339{,}411\\ \mathrm{A}.
Arredondando razoavelmente:
I_{\mathrm{rms}}\approx 339{,}4\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Interpretação curta e dica: o RMS ficou muito maior que a média porque a corrente está concentrada em pulsos estreitos (apenas 20^\circ de cada período), e o RMS dá mais peso aos valores altos do que a média. Na prova, memorize as fórmulas de média e RMS para pulsos retangulares; elas salvam tempo.

Resposta

I_{\mathrm{rms}}\approx 339{,}4\\ \mathrm{A}

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