5- Uma empresa de consultoria de TI deseja se instalar em uma cidade do estado de São Paulo. Embora a empresa desconfie que será mais bem aceita na cidade Campinas do que na cidade São Paulo, foi feita uma pesquisa de modo a verificar onde as pessoas estariam mais interessadas na implantação da empresa. Se das 200 pessoas entrevistadas em Campinas, 140 são a favor da implantação da empresa e das 300 pessoas entrevistadas em São Paulo, 160 são a favor da implantação da empresa. Teste a hipótese de que a verdadeira proporção de pessoas de Campinas a favor da empresa de consultoria de TI é maior que a da cidade de São Paulo. Use um nível de significância de 5 \%.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados amostrais (pegos do enunciado):
    • Em Campinas: n_1=200 entrevistados e x_1=140 a favor.
    • Em São Paulo: n_2=300 entrevistados e x_2=160 a favor.
  • Proporções amostrais (vou calcular em seguida).
  • O enunciado pede: testar, ao nível de significância de 5\%, a hipótese de que a verdadeira proporção de pessoas favoráveis em Campinas é maior do que a de São Paulo. Ou seja, é um teste de comparação entre duas proporções com hipótese unilateral.

Passo 2

Definição clara das hipóteses (em símbolos e em palavras).
  • Hipótese nula:
H_0:\; p_1 = p_2,
ou seja, “a proporção verdadeira em Campinas é igual à proporção verdadeira em São Paulo”.
  • Hipótese alternativa (única, unilateral, pois queremos saber se Campinas é maior):
H_a:\; p_1 > p_2,
ou seja, “a proporção verdadeira em Campinas é maior que a de São Paulo”.
Aqui p_1 é a proporção verdadeira de pessoas a favor em Campinas e p_2 é a proporção verdadeira em São Paulo.

Passo 3

Calcular as proporções amostrais e explicar a ideia do procedimento.
  • Proporções amostrais:
\hat{p}_1=\frac{x_1}{n_1}=\frac{140}{200}=0,7, \qquad \hat{p}_2=\frac{x_2}{n_2}=\frac{160}{300}\approx0,533\overline{3}.
Explicação didática: para comparar duas proporções usa-se, sob H_0, a estimativa combinada (ou “pool”) da proporção comum, porque H_0 afirma que elas são iguais. Isso permite calcular o desvio padrão comum esperado das diferenças amostrais.

Passo 4

Calcular a proporção combinada (pooled proportion) e justificar a fórmula.
  • Fórmula da proporção combinada:
\hat{p}=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}.
  • Cálculo com os números:
\hat{p}=\frac{140+160}{200+300}=\frac{300}{500}=0,6.
Justificativa simples: \hat{p} é a melhor estimativa da proporção comum sob H_0; usamos ela para construir o desvio padrão da diferença de proporções sob H_0.

Passo 5

Escrever a estatística de teste (fórmula) e explicar cada termo.
A estatística Z para testar p_1>p_2 sob H_0 é
Z=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)}}.
Onde:
  • \hat{p}_1 e \hat{p}_2 são as proporções amostrais;
  • \hat{p} é a proporção combinada calculada acima;
  • n_1 e n_2 são os tamanhos das amostras;
  • O denominador é o erro padrão (desvio padrão) da diferença \hat{p}_1-\hat{p}_2 sob H_0.

Passo 6

Calcular numericamente o erro padrão e a estatística Z.
  • Primeiro calcule o fator dentro da raiz:
\hat{p}(1-\hat{p})=0,6\cdot(1-0,6)=0,6\cdot0,4=0,24.
  • Soma dos inversos das amostras:
\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}=\frac{1}{200}+\frac{1}{300}=0,005+0,003333\overline{3}=0,008333\overline{3}.
  • Produto:
0,24\times0,008333\overline{3}=0,002.
  • Erro padrão:
\text{SE}=\sqrt{0,002}\approx0,044721\ldots
  • Diferença das proporções:
\hat{p}_1-\hat{p}_2=0,7-0,533\overline{3}=0,1666\overline{6}.
  • Estatística Z:
Z=\frac{0,1666\overline{6}}{0,044721\ldots}\approx3,727.
Interpretação prática: Z mede quantos desvios-padrão a diferença amostral está acima do que seria esperado sob H_0. Quanto maior Z, mais evidência contra H_0 em favor de H_a.

Passo 7

Determinar a região crítica e o p-valor; comparar com o nível de significância.
  • Como o teste é unilateral à direita e o nível de significância é \alpha=5\%, o valor crítico da normal padrão é
z_{1-\alpha}=z_{0,95}\approx1,645.
  • Comparação direta: obtivemos Z\approx3,727 que é bem maior que 1,645. Portanto a estatística cai na região de rejeição de H_0.
  • Cálculo do p-valor (área à direita de Z):
p\text{-valor}=1-\Phi(3,727)\approx9,7\times10^{-5}\\ (\text{aprox. }0,000097).
Como p\text{-valor}\ll0,05, há evidência estatística forte contra H_0.

Passo 8

Conclusão em linguagem clara e incentivadora.
  • Resultado: rejeitamos a hipótese nula H_0 ao nível de significância de 5\%.
  • Interpretação prática: os dados fornecem evidência estatística significativa de que a verdadeira proporção de pessoas favoráveis à implantação da empresa em Campinas é maior do que em São Paulo.
  • Observação final amiga: isto significa que, com base nessa amostra, a suspeita da empresa (de que Campinas seria mais receptiva) tem forte apoio nos dados — e o efeito é relativamente grande (diferença amostral de cerca de 0,167, ou 16,7 pontos percentuais).

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%. Há evidência estatística significativa de que a proporção em Campinas é maior que em São Paulo ( Z\approx3,727, p\text{-valor}\approx9,7\times10^{-5} ).

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