5- Uma empresa de consultoria de TI deseja se instalar em uma cidade do estado de São Paulo. Embora a empresa desconfie que será mais bem aceita na cidade Campinas do que na cidade São Paulo, foi feita uma pesquisa de modo a verificar onde as pessoas estariam mais interessadas na implantação da empresa. Se das 200 pessoas entrevistadas em Campinas, 140 são a favor da implantação da empresa e das 300 pessoas entrevistadas em São Paulo, 160 são a favor da implantação da empresa. Teste a hipótese de que a verdadeira proporção de pessoas de Campinas a favor da empresa de consultoria de TI é maior que a da cidade de São Paulo. Use um nível de significância de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados amostrais (pegos do enunciado):
- Em Campinas:
entrevistados e a favor. - Em São Paulo:
entrevistados e a favor.
- Em Campinas:
- Proporções amostrais (vou calcular em seguida).
- O enunciado pede: testar, ao nível de significância de
, a hipótese de que a verdadeira proporção de pessoas favoráveis em Campinas é maior do que a de São Paulo. Ou seja, é um teste de comparação entre duas proporções com hipótese unilateral.
Passo 2
Definição clara das hipóteses (em símbolos e em palavras).
- Hipótese nula:
ou seja, “a proporção verdadeira em Campinas é igual à proporção verdadeira em São Paulo”.
- Hipótese alternativa (única, unilateral, pois queremos saber se Campinas é maior):
ou seja, “a proporção verdadeira em Campinas é maior que a de São Paulo”.
Aqui
é a proporção verdadeira de pessoas a favor em Campinas e
é a proporção verdadeira em São Paulo.
Passo 3
Calcular as proporções amostrais e explicar a ideia do procedimento.
- Proporções amostrais:
Explicação didática: para comparar duas proporções usa-se, sob
, a estimativa combinada (ou “pool”) da proporção comum, porque
afirma que elas são iguais. Isso permite calcular o desvio padrão comum esperado das diferenças amostrais.
Passo 4
Calcular a proporção combinada (pooled proportion) e justificar a fórmula.
- Fórmula da proporção combinada:
- Cálculo com os números:
Justificativa simples:
é a melhor estimativa da proporção comum sob
; usamos ela para construir o desvio padrão da diferença de proporções sob
.
Passo 5
Escrever a estatística de teste (fórmula) e explicar cada termo.
A estatística
para testar
sob
é
Onde:
-
e são as proporções amostrais; -
é a proporção combinada calculada acima; -
e são os tamanhos das amostras; - O denominador é o erro padrão (desvio padrão) da diferença
sob .
Passo 6
Calcular numericamente o erro padrão e a estatística
.
- Primeiro calcule o fator dentro da raiz:
- Soma dos inversos das amostras:
- Produto:
- Erro padrão:
- Diferença das proporções:
- Estatística
:
Interpretação prática:
mede quantos desvios-padrão a diferença amostral está acima do que seria esperado sob
. Quanto maior
, mais evidência contra
em favor de
.
Passo 7
Determinar a região crítica e o p-valor; comparar com o nível de significância.
- Como o teste é unilateral à direita e o nível de significância é
, o valor crítico da normal padrão é
-
Comparação direta: obtivemos
que é bem maior que . Portanto a estatística cai na região de rejeição de . -
Cálculo do p-valor (área à direita de
):
Como
, há evidência estatística forte contra
.
Passo 8
Conclusão em linguagem clara e incentivadora.
- Resultado: rejeitamos a hipótese nula
ao nível de significância de . - Interpretação prática: os dados fornecem evidência estatística significativa de que a verdadeira proporção de pessoas favoráveis à implantação da empresa em Campinas é maior do que em São Paulo.
- Observação final amiga: isto significa que, com base nessa amostra, a suspeita da empresa (de que Campinas seria mais receptiva) tem forte apoio nos dados — e o efeito é relativamente grande (diferença amostral de cerca de
, ou pontos percentuais).
Resposta
Rejeita-se
ao nível de
. Há evidência estatística significativa de que a proporção em Campinas é maior que em São Paulo (
,
).