7- Engenheiros Ambientais verificaram que um relatório de uma fazenda afirma que
de todo o adubo é obtido através de material orgânico gerado pela própria fazenda. Há muitas controvérsias sobre essa afirmação, o proprietário alega que a proporção é maior, os funcionários que é menor. Para dirimir as dúvidas, foi medido por 40 dias a proporção e observou-se, em 12 dias de adubação somente com matéria orgânica e 28 dias com adubo industrializado. Qual seria a conclusão ao nível de
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O enunciado informa que a fazenda afirma que
do adubo é obtido por matéria orgânica. Ou seja, a proporção alegada é . - Foi feita uma observação por
dias: em desses dias o adubo foi somente com matéria orgânica e em dias com adubo industrializado. - Dados extraídos do enunciado:
-
(tamanho da amostra, dias observados). -
(número de dias com adubação somente com matéria orgânica). - Proporção amostral
(a calcular).
-
- O enunciado pergunta qual conclusão tomar ao nível de significância de
(isto é, ). - Observação sobre as alegações das partes: o proprietário alega que a proporção é maior que
; os funcionários alegam que é menor que . Ambos os lados discordam de , então uma forma natural de dirimir (sem favorecer um lado a priori) é testar se é diferente de . Também comentarei o que significa em termos das alegações individuais.
Passo 2
Formular as hipóteses e escolher o teste (explicando por quê).
- Hipótese nula (hipótese de referência):
onde é a proporção verdadeira de dias com adubação somente por matéria orgânica. - Hipótese alternativa (teste dois-lados, pois queremos verificar se a proporção difere de
):
Por que usar este teste? O enunciado não exigiu um teste unilateral (por exemplo, apenas
ou apenas
); como há opiniões contrárias, o teste dois-lados é apropriado para “dirimir as dúvidas” sobre se a proporção é diferente de
.
Escolha do método: para testar hipóteses sobre proporção usamos o teste-z para proporções quando a aproximação normal é razoável. A condição usual é que
e
sejam ≥ 5. Aqui:
ambos maiores que
, logo a aproximação normal é válida e usamos o teste-z.
Passo 3
Calcular a proporção amostral e explicar o que ela representa.
- A proporção amostral é
- Fazer a divisão passo a passo:
- Interpretação:
quer dizer que, na amostra (nos 40 dias observados), dos dias tiveram adubação somente com matéria orgânica.
Passo 4
Apresentar a estatística de teste, explicar cada termo e a ideia por trás.
- Para testar
usamos a estatística-z: Onde: -
é a proporção observada na amostra; -
é a proporção sob (aqui ); -
é o tamanho da amostra; - a quantidade
é o erro-padrão da proporção sob : ela mede a variabilidade esperada de quando é verdadeira.
-
- Intuição: se
estiver muito distante de em relação ao erro-padrão, o valor de será grande e teremos evidência contra .
Passo 5
Calcular numericamente o erro-padrão e a estatística z passo a passo.
- Primeiro calcular
: - Dividir por
: - Raiz quadrada — o erro-padrão:
(mostrando que a raiz de é ; arredonde para para os cálculos) - Agora calcular
: - Dividindo:
Passo 6
Calcular o p-valor e tomar a decisão com
.
- Como o teste é dois-lados, o p-valor é
onde é uma variável normal padrão e é o valor observado (negativo). - Consultando a tabela da normal padrão ou usando conhecimento sobre caudas:
- Portanto o p-valor é
- Comparação com o nível de significância:
Como o p-valor é menor que , rejeitamos .
Passo 7
Interpretação final e relação com as alegações do proprietário e dos funcionários.
- Rejeitar
num teste dois-lados significa que há evidência estatística, ao nível de , de que a proporção real é diferente de . - Observando a direção do desvio:
e é negativo, isto indica que a proporção observada é significativamente menor que . Logo, a evidência aponta para . - Em termos práticos:
- A afirmação do proprietário (que a proporção é maior que
) não é suportada pelos dados; os dados vão contra essa alegação. - A alegação dos funcionários (que a proporção é menor que
) é compatível com os dados; se em vez de fazer um teste dois-lados tivéssemos testado diretamente , obteríamos um p-valor aproximado , que também leva à rejeição de em favor de ao nível de .
- A afirmação do proprietário (que a proporção é maior que
- Conclusão prática: com base nas 40 observações (12 dias orgânicos), há evidência estatística suficiente, ao nível de
, para afirmar que a proporção de adubo obtido por matéria orgânica é menor que .
Resposta
Rejeita-se
. Há evidência, ao nível de
, de que a proporção verdadeira é diferente de
; os dados indicam que a proporção é menor que
(aprox.
,
, p-valor
).