7- Engenheiros Ambientais verificaram que um relatório de uma fazenda afirma que 50 \% de todo o adubo é obtido através de material orgânico gerado pela própria fazenda. Há muitas controvérsias sobre essa afirmação, o proprietário alega que a proporção é maior, os funcionários que é menor. Para dirimir as dúvidas, foi medido por 40 dias a proporção e observou-se, em 12 dias de adubação somente com matéria orgânica e 28 dias com adubo industrializado. Qual seria a conclusão ao nível de 5 \% ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado informa que a fazenda afirma que 50\% do adubo é obtido por matéria orgânica. Ou seja, a proporção alegada é p_0=0,5.
  • Foi feita uma observação por 40 dias: em 12 desses dias o adubo foi somente com matéria orgânica e em 28 dias com adubo industrializado.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • n=40 (tamanho da amostra, dias observados).
    • X=12 (número de dias com adubação somente com matéria orgânica).
    • Proporção amostral \widehat{p} = \dfrac{X}{n} (a calcular).
  • O enunciado pergunta qual conclusão tomar ao nível de significância de 5\% (isto é, \alpha=0,05).
  • Observação sobre as alegações das partes: o proprietário alega que a proporção é maior que 50\%; os funcionários alegam que é menor que 50\%. Ambos os lados discordam de 0,5, então uma forma natural de dirimir (sem favorecer um lado a priori) é testar se p é diferente de 0,5. Também comentarei o que significa em termos das alegações individuais.

Passo 2

Formular as hipóteses e escolher o teste (explicando por quê).
  • Hipótese nula (hipótese de referência): H_0:\; p = 0,5,onde p é a proporção verdadeira de dias com adubação somente por matéria orgânica.
  • Hipótese alternativa (teste dois-lados, pois queremos verificar se a proporção difere de 0,5): H_a:\; p \neq 0,5.
Por que usar este teste? O enunciado não exigiu um teste unilateral (por exemplo, apenas p>0,5 ou apenas p<0,5); como há opiniões contrárias, o teste dois-lados é apropriado para “dirimir as dúvidas” sobre se a proporção é diferente de 0,5.
Escolha do método: para testar hipóteses sobre proporção usamos o teste-z para proporções quando a aproximação normal é razoável. A condição usual é que n p_0 e n(1-p_0) sejam ≥ 5. Aqui:
n p_0 = 40\cdot 0,5 = 20 \quad\text{e}\quad n(1-p_0)=40\cdot 0,5=20,
ambos maiores que 5, logo a aproximação normal é válida e usamos o teste-z.

Passo 3

Calcular a proporção amostral e explicar o que ela representa.
  • A proporção amostral é \widehat{p} = \frac{X}{n} = \frac{12}{40}.
  • Fazer a divisão passo a passo: \frac{12}{40} = \frac{12\div 4}{40\div 4} = \frac{3}{10} = 0,3.
  • Interpretação: \widehat{p}=0,3 quer dizer que, na amostra (nos 40 dias observados), 30\% dos dias tiveram adubação somente com matéria orgânica.

Passo 4

Apresentar a estatística de teste, explicar cada termo e a ideia por trás.
  • Para testar H_0:\; p= p_0 usamos a estatística-z: z = \frac{\widehat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.Onde:
    • \widehat{p} é a proporção observada na amostra;
    • p_0 é a proporção sob H_0 (aqui 0,5);
    • n é o tamanho da amostra;
    • a quantidade \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} é o erro-padrão da proporção sob H_0: ela mede a variabilidade esperada de \widehat{p} quando H_0 é verdadeira.
  • Intuição: se \widehat{p} estiver muito distante de p_0 em relação ao erro-padrão, o valor de |z| será grande e teremos evidência contra H_0.

Passo 5

Calcular numericamente o erro-padrão e a estatística z passo a passo.
  • Primeiro calcular p_0(1-p_0): p_0(1-p_0) = 0,5\cdot(1-0,5) = 0,5\cdot 0,5 = 0,25.
  • Dividir por n: \frac{p_0(1-p_0)}{n} = \frac{0,25}{40} = 0,00625.
  • Raiz quadrada — o erro-padrão: \sqrt{0,00625} = 0,0790569415\ldots \approx 0,07906.(mostrando que a raiz de 0,00625 é 0,0790569\ldots; arredonde para 0,07906 para os cálculos)
  • Agora calcular z: z = \frac{\widehat{p} - p_0}{\text{erro-padrão}} = \frac{0,3 - 0,5}{0,07906} = \frac{-0,2}{0,07906}.ã
  • Dividindo: z \approx -2,5298\ldots \approx -2,53.

Passo 6

Calcular o p-valor e tomar a decisão com \alpha=0,05.
  • Como o teste é dois-lados, o p-valor é \text{p-valor} = 2\cdot P(Z \le z),onde Z é uma variável normal padrão e z é o valor observado (negativo).
  • Consultando a tabela da normal padrão ou usando conhecimento sobre caudas: P(Z \le -2,53) \approx 0,0057.
  • Portanto o p-valor é \text{p-valor} \approx 2\cdot 0,0057 = 0,0114.
  • Comparação com o nível de significância: 0,0114 < 0,05.Como o p-valor é menor que \alpha=0,05, rejeitamos H_0.

Passo 7

Interpretação final e relação com as alegações do proprietário e dos funcionários.
  • Rejeitar H_0:\; p=0,5 num teste dois-lados significa que há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a proporção real p é diferente de 0,5.
  • Observando a direção do desvio: \widehat{p}=0,3 e z é negativo, isto indica que a proporção observada é significativamente menor que 0,5. Logo, a evidência aponta para p<0,5.
  • Em termos práticos:
    • A afirmação do proprietário (que a proporção é maior que 50\%) não é suportada pelos dados; os dados vão contra essa alegação.
    • A alegação dos funcionários (que a proporção é menor que 50\%) é compatível com os dados; se em vez de fazer um teste dois-lados tivéssemos testado diretamente H_a:\; p<0,5, obteríamos um p-valor aproximado 0,0057, que também leva à rejeição de H_0 em favor de p<0,5 ao nível de 5\%.
  • Conclusão prática: com base nas 40 observações (12 dias orgânicos), há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, para afirmar que a proporção de adubo obtido por matéria orgânica é menor que 50\%.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência, ao nível de 5\%, de que a proporção verdadeira é diferente de 0,5; os dados indicam que a proporção é menor que 0,5 (aprox. \widehat{p}=0,3, z\approx-2,53, p-valor \approx0,0114).

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