Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de cada função no intervalo dado:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
no intervalo fechado
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo onde procurar os extremos é
.
O que vamos precisar checar (lista de candidatos a extremos absolutos):
- pontos críticos no interior do intervalo (onde
ou não existe); - os extremos do intervalo, ou seja
e .
Passo 2
Regra para encontrar pontos críticos (breve explicação didática):
- Para uma função diferenciável, os candidatos a extremos absolutos num intervalo fechado são os pontos onde a derivada é zero ou não existe, e também as extremidades do intervalo.
- Depois se avalia
nesses pontos e compara os valores; o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Agora vamos calcular a derivada de
. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
- Se
então . - Aqui
e . -
. - Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de é . Com temos . Logo
-
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Por fatoração:
Para encontrar pontos críticos, resolvemos
:
Como
para todo
, a única forma de zerar a expressão é
Ambos estão no intervalo
. A derivada não é indefinida em nenhum ponto, então os pontos críticos internos são
e
.
Lembrando também de checar os endpoints
e
.
Passo 4
Agora avaliamos
em todos os candidatos:
.
Calculemos exatamente primeiro:
Agora dá uma olhada aproximada (para comparar numericamente; todas as aproximações abaixo estão apenas para facilitar a comparação na prova — guarde as formas exatas):
Portanto:
Passo 5
Comparando os valores avaliados:
- O maior valor é
(aprox. ). Logo esse é o máximo absoluto no intervalo. - O menor valor é
(aprox. ). Logo esse é o mínimo absoluto no intervalo.
Se quiser uma confirmação adicional para a prova: a segunda derivada pode ser usada para classificar cada ponto crítico. Calculando rapidamente,
Ao substituir
obtém-se
(máximo local) e em
obtém-se
(mínimo local). Isso confirma a classificação local e, como os valores comparados mostram, são também os extremos absolutos no intervalo.
Resposta
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto:
Mínimo absoluto: