Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de cada função no intervalo dado:
f(x)=x e^{-x^{2}}, \quad[-2,2]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
f(x)=x e^{-x^{2}}
no intervalo fechado [-2,2].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x e^{-x^{2}}.
  • O intervalo onde procurar os extremos é [-2,2].
O que vamos precisar checar (lista de candidatos a extremos absolutos):
  • pontos críticos no interior do intervalo (onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe);
  • os extremos do intervalo, ou seja x=-2 e x=2.

Passo 2

Regra para encontrar pontos críticos (breve explicação didática):
  • Para uma função diferenciável, os candidatos a extremos absolutos num intervalo fechado são os pontos onde a derivada é zero ou não existe, e também as extremidades do intervalo.
  • Depois se avalia f nesses pontos e compara os valores; o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Agora vamos calcular a derivada de f. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
  • Se f(x)=u(x)\,v(x) então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Aqui u(x)=x e v(x)=e^{-x^{2}}.
    • u'(x)=1.
    • Para v'(x) usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{g(x)} é g'(x)e^{g(x)}. Com g(x)=-x^{2} temos g'(x)=-2x. Logo
    v'(x) = (-2x)e^{-x^{2}}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot e^{-x^{2}} + x\cdot(-2x)e^{-x^{2}}.
Por fatoração:
f'(x)=e^{-x^{2}}\bigl(1-2x^{2}\bigr).
Para encontrar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
e^{-x^{2}}\bigl(1-2x^{2}\bigr)=0.
Como \,e^{-x^{2}}>0 para todo x, a única forma de zerar a expressão é
1-2x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Ambos estão no intervalo [-2,2]. A derivada não é indefinida em nenhum ponto, então os pontos críticos internos são \,x=\tfrac{1}{\sqrt{2}} e x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Lembrando também de checar os endpoints x=-2 e x=2.

Passo 4

Agora avaliamos f em todos os candidatos: x=-2,\;x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\;x=\tfrac{1}{\sqrt{2}},\;x=2.
Calculemos exatamente primeiro:
f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-(1/2)}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2},
f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2}=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2},
f(2)=2\,e^{-4},
f(-2)=-2\,e^{-4}.
Agora dá uma olhada aproximada (para comparar numericamente; todas as aproximações abaixo estão apenas para facilitar a comparação na prova — guarde as formas exatas):
e^{-1/2}\approx0,60653,\qquad \tfrac{1}{\sqrt{2}}\approx0,70711,
\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2}\approx0,70711\cdot0,60653\approx0,42888,
2\,e^{-4}\approx2\cdot0,018315\approx0,03663.
Portanto:
f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx0,4289, \qquad f(2)\approx0,0366,
f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx-0,4289, \qquad f(-2)\approx-0,0366.

Passo 5

Comparando os valores avaliados:
  • O maior valor é \,f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2} (aprox. 0,4289). Logo esse é o máximo absoluto no intervalo.
  • O menor valor é \,f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2} (aprox. -0,4289). Logo esse é o mínimo absoluto no intervalo.
Se quiser uma confirmação adicional para a prova: a segunda derivada pode ser usada para classificar cada ponto crítico. Calculando rapidamente,
f''(x)=2x e^{-x^{2}}\bigl(2x^{2}-3\bigr).
Ao substituir x=\tfrac{1}{\sqrt{2}} obtém-se f''\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)<0 (máximo local) e em x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} obtém-se f''\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)>0 (mínimo local). Isso confirma a classificação local e, como os valores comparados mostram, são também os extremos absolutos no intervalo.

Resposta

Máximo absoluto: f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2}\approx0,4289
Mínimo absoluto: f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2}\approx-0,4289

Exercícios relacionados