Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de cada função no intervalo dado:
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo:
- Função:
. - Intervalo:
.
O que se pede:
- Encontrar o máximo absoluto (máximo global) de
em . - Encontrar o mínimo absoluto (mínimo global) de
em .
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda):
- O intervalo é fechado e a função é polinomial (logo contínua), então existem máximo e mínimo absolutos.
- Para achar esses extremos em um intervalo fechado verificamos os pontos críticos interiores (onde
ou não existe) e também os extremos do intervalo (os endpoints e ).
Passo 2
Por que checar pontos críticos e endpoints?
- Teorema do valor extremo: uma função contínua em um intervalo fechado atinge máximo e mínimo em algum ponto do intervalo.
- Teorema de Fermat: quaisquer extremos locais em pontos interiores ocorrem em pontos onde
(ou não existe). Aqui é polinomial, então existe em todo lugar; logo os candidatos interiores são as raízes de .
Conclusão do método: calcular, achar as raízes dentro de , avaliar nesses pontos e também em e , e comparar os valores.
Passo 3
Calcular a derivada
e resolver
.
Derivando termo a termo:
Fatorando
:
Resolver
. Essa quadrática fatoriza:
Logo as raízes são
Ambos estão dentro do intervalo
, então são candidatos.
Passo 4
Avaliar
nos pontos candidatos e nos endpoints. Vou calcular passo a passo cada valor.
Avaliar em
:
Calcule cada termo:
Somando:
Avaliar em
:
Termos:
Somando:
Avaliar em
:
Termos:
Somando:
Avaliar em
:
Termos:
Somando:
Resumo dos valores obtidos:
Passo 5
Classificação local (opcional, para entender a natureza dos críticos):
- Segunda derivada:
- Em
:
portanto
é máximo local (valor
).
- Em
:
portanto
é mínimo local (valor
).
Passo 6
Comparar todos os valores avaliados para determinar os extremos absolutos no intervalo
.
Os valores são:
O maior desses é
e o menor é
. Portanto o máximo absoluto ocorre em
e o mínimo absoluto ocorre em
.
Resposta
Máximo absoluto:
em
Mínimo absoluto:
em