Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de cada função no intervalo dado:
f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x+1, \quad[-3,4]

Passo 1

O enunciado dá a função f e o intervalo:
  • Função: f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+1.
  • Intervalo: [-3,4].
O que se pede:
  • Encontrar o máximo absoluto (máximo global) de f em [-3,4].
  • Encontrar o mínimo absoluto (mínimo global) de f em [-3,4].
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda):
  • O intervalo é fechado e a função é polinomial (logo contínua), então existem máximo e mínimo absolutos.
  • Para achar esses extremos em um intervalo fechado verificamos os pontos críticos interiores (onde f'(x)=0 ou f' não existe) e também os extremos do intervalo (os endpoints x=-3 e x=4).

Passo 2

Por que checar pontos críticos e endpoints?
  • Teorema do valor extremo: uma função contínua em um intervalo fechado atinge máximo e mínimo em algum ponto do intervalo.
  • Teorema de Fermat: quaisquer extremos locais em pontos interiores ocorrem em pontos onde f'(x)=0 (ou f' não existe). Aqui f é polinomial, então f' existe em todo lugar; logo os candidatos interiores são as raízes de f'(x)=0.
    Conclusão do método: calcular f'(x), achar as raízes dentro de [-3,4], avaliar f nesses pontos e também em x=-3 e x=4, e comparar os valores.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) e resolver f'(x)=0.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}-3x^{2}-12x+1\bigr)
Derivando termo a termo:
f'(x)=6x^{2}-6x-12.
Fatorando 6:
f'(x)=6\bigl(x^{2}-x-2\bigr).
Resolver x^{2}-x-2=0. Essa quadrática fatoriza:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Logo as raízes são
x=2\quad\text{e}\quad x=-1.
Ambos estão dentro do intervalo [-3,4], então são candidatos.

Passo 4

Avaliar f nos pontos candidatos e nos endpoints. Vou calcular passo a passo cada valor.
Avaliar em x=-3:
f(-3)=2(-3)^{3}-3(-3)^{2}-12(-3)+1.
Calcule cada termo:
2(-27)=-54,\qquad -3(9)=-27,\qquad -12(-3)=+36.
Somando:
f(-3)=-54-27+36+1=-44.
Avaliar em x=-1:
f(-1)=2(-1)^{3}-3(-1)^{2}-12(-1)+1.
Termos:
2(-1)=-2,\qquad -3(1)=-3,\qquad -12(-1)=+12.
Somando:
f(-1)=-2-3+12+1=8.
Avaliar em x=2:
f(2)=2(2)^{3}-3(2)^{2}-12(2)+1.
Termos:
2(8)=16,\qquad -3(4)=-12,\qquad -12(2)=-24.
Somando:
f(2)=16-12-24+1=-19.
Avaliar em x=4:
f(4)=2(4)^{3}-3(4)^{2}-12(4)+1.
Termos:
2(64)=128,\qquad -3(16)=-48,\qquad -12(4)=-48.
Somando:
f(4)=128-48-48+1=33.
Resumo dos valores obtidos:
f(-3)=-44,\quad f(-1)=8,\quad f(2)=-19,\quad f(4)=33.

Passo 5

Classificação local (opcional, para entender a natureza dos críticos):
  • Segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x^{2}-6x-12\bigr)=12x-6.
  • Em x=-1:
f''(-1)=12(-1)-6=-18<0,
portanto x=-1 é máximo local (valor 8).
  • Em x=2:
f''(2)=12(2)-6=18>0,
portanto x=2 é mínimo local (valor -19).

Passo 6

Comparar todos os valores avaliados para determinar os extremos absolutos no intervalo [-3,4].
Os valores são:
-44,\\\ 8,\\\ -19,\\\ 33.
O maior desses é 33 e o menor é -44. Portanto o máximo absoluto ocorre em x=4 e o mínimo absoluto ocorre em x=-3.

Resposta

Máximo absoluto: f(4)=33 em x=4
Mínimo absoluto: f(-3)=-44 em x=-3

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