6- Um engenheiro de computação quer avaliar o peso médio de computadores antigos de 02 laboratórios, no laboratório 01 ele analisou 20 computadores e o peso médio foi 5 kg , já no laboratório 02 , o engenheiro observou o peso de 15 computadores, e obteve-se a média de 4,2 \mathrm{Kg}. Considerando que ambos os laboratórios tenham uma variância populacional de 0,25 \mathrm{Kg}^{2} verifique se o peso dos computadores nos laboratórios 01 e 02 são iguais ao nível de 3 \% de significância.

Passo 1

Liste clara do que o enunciado dá e pede.
  • Amostras observadas:
    • Laboratório 01: n_1 = 20 computadores, média amostral \overline{X}_1 = 5\\ \mathrm{kg}.
    • Laboratório 02: n_2 = 15 computadores, média amostral \overline{X}_2 = 4,2\\ \mathrm{kg}.
  • Variâncias populacionais fornecidas (iguais conhecidas):
    • \sigma_1^2 = 0,25\\ \mathrm{kg}^2
    • \sigma_2^2 = 0,25\\ \mathrm{kg}^2
  • Nível de significância: \alpha = 0,03.
  • Pergunta pedida: verificar se os pesos médios dos dois laboratórios são iguais ao nível de 3\% de significância. Ou seja, testar se as médias populacionais são iguais.

Passo 2

Formule claramente as hipóteses (duas amostras, teste bilateral).
  • Hipótese nula (igualdade das médias): H_0:\\ \mu_1 = \mu_2
  • Hipótese alternativa (diferença das médias): H_1:\\ \mu_1 \neq \mu_2
Explicação curta do método escolhido: as variâncias populacionais são fornecidas (conhecidas) e as amostras podem ser tratadas como independentes; por isso usa-se o teste baseado na distribuição normal padrão (teste Z para diferença de médias). Não foi pedido outro método específico, então este é o método apropriado.

Passo 3

Apresente a estatística de teste e explique cada termo.
  • Estatística de teste para diferença de médias com variâncias conhecidas: Z \;=\; \dfrac{\overline{X}_1 - \overline{X}_2}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}onde:
    • \overline{X}_1 e \overline{X}_2 são as médias amostrais dos laboratórios 01 e 02;
    • \sigma_1^2 e \sigma_2^2 são as variâncias populacionais (aqui dadas);
    • n_1 e n_2 são os tamanhos das amostras.
  • Regra de decisão (teste bilateral): rejeita-se H_0 se |Z| > z_{1-\alpha/2}, onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão.

Passo 4

Calcule o denominador (erro padrão) passo a passo.
  • Calcule \dfrac{\sigma_1^2}{n_1}: \dfrac{\sigma_1^2}{n_1} = \dfrac{0,25}{20} = 0,0125.
  • Calcule \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}: \dfrac{\sigma_2^2}{n_2} = \dfrac{0,25}{15} = \dfrac{1}{60} \approx 0,016666\ldots
  • Some os dois termos: \dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2} = 0,0125 + 0,016666\ldots = 0,029166\ldots(nota: 0,029166\ldots = \dfrac{7}{240}.)
  • Tire a raiz quadrada para obter o erro padrão: \sqrt{0,029166\ldots} \approx 0,170820.

Passo 5

Calcule a estatística Z numericamente.
  • Diferença das médias: \overline{X}_1 - \overline{X}_2 = 5 - 4,2 = 0,8.
  • Estatística: Z = \dfrac{0,8}{0,170820\ldots} \approx 4,68\\ (\text{aprox. }4,683).
Explanação: um Z tão grande em módulo indica que a diferença observada de 0,8\\ \mathrm{kg} é muito maior do que seria de esperar apenas por variação amostral quando H_0 é verdadeira.

Passo 6

Determine o valor crítico e o p-valor; conclua o teste.
  • Valor crítico para teste bilateral com \alpha = 0,03: precisamos de z_{1-\alpha/2}=z_{0,985}. Pelas tabelas da normal padrão: z_{0,985} \approx 2,17.
  • Comparação: |Z| \approx 4,68 > 2,17. Portanto rejeita-se H_0.
  • Cálculo aproximado do p-valor: p = 2\bigl(1-\Phi(4,68)\bigr) \approx 2{,}8\times10^{-6}\\ (\text{aprox. }0,0000028),muito menor que \alpha = 0,03.
  • Conclusão em palavras: com nível de significância de 3\% rejeita-se a hipótese de que as médias dos pesos sejam iguais; há evidência estatística forte de que as médias dos dois laboratórios são diferentes.
Força prática/interpretativa: a diferença amostral de 0,8\\ \mathrm{kg} é grande em relação ao erro padrão, por isso é detectada como estatisticamente significativa mesmo com um nível de significância relativamente rigoroso ( 3\%). Isso sugere que, na população, os computadores dos dois laboratórios têm médias de peso distintas.

Resposta

Rejeita-se H_0. Estatística Z \approx 4,68. p \approx 2{,}8\times10^{-6}. Há evidência significativa (ao nível de 3\%) de que as médias dos pesos dos computadores nos laboratórios 01 e 02 são diferentes.

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