6- Um engenheiro de computação quer avaliar o peso médio de computadores antigos de 02 laboratórios, no laboratório 01 ele analisou 20 computadores e o peso médio foi 5 kg , já no laboratório 02 , o engenheiro observou o peso de 15 computadores, e obteve-se a média de 4,2 \mathrm{Kg}. Considerando que ambos os laboratórios tenham uma variância populacional de 0,25 \mathrm{Kg}^{2} verifique se o peso dos computadores nos laboratórios 01 e 02 são iguais ao nível de 3 \% de significância.
Pergunta pedida: verificar se os pesos médios dos dois laboratórios são iguais ao nível de 3\% de significância. Ou seja, testar se as médias populacionais são iguais.
Passo 2
Formule claramente as hipóteses (duas amostras, teste bilateral).
Hipótese nula (igualdade das médias):H_0:\\ \mu_1 = \mu_2
Hipótese alternativa (diferença das médias):H_1:\\ \mu_1 \neq \mu_2
Explicação curta do método escolhido: as variâncias populacionais são fornecidas (conhecidas) e as amostras podem ser tratadas como independentes; por isso usa-se o teste baseado na distribuição normal padrão (teste Z para diferença de médias). Não foi pedido outro método específico, então este é o método apropriado.
Passo 3
Apresente a estatística de teste e explique cada termo.
Estatística de teste para diferença de médias com variâncias conhecidas:Z \;=\; \dfrac{\overline{X}_1 - \overline{X}_2}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}onde:
\overline{X}_1 e \overline{X}_2 são as médias amostrais dos laboratórios 01 e 02;
\sigma_1^2 e \sigma_2^2 são as variâncias populacionais (aqui dadas);
n_1 e n_2 são os tamanhos das amostras.
Regra de decisão (teste bilateral): rejeita-se H_0 se |Z| > z_{1-\alpha/2}, onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão.
Passo 4
Calcule o denominador (erro padrão) passo a passo.
Some os dois termos:\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2} = 0,0125 + 0,016666\ldots = 0,029166\ldots(nota: 0,029166\ldots = \dfrac{7}{240}.)
Tire a raiz quadrada para obter o erro padrão:\sqrt{0,029166\ldots} \approx 0,170820.
Explanação: um Z tão grande em módulo indica que a diferença observada de 0,8\\ \mathrm{kg} é muito maior do que seria de esperar apenas por variação amostral quando H_0 é verdadeira.
Passo 6
Determine o valor crítico e o p-valor; conclua o teste.
Valor crítico para teste bilateral com \alpha = 0,03: precisamos de z_{1-\alpha/2}=z_{0,985}. Pelas tabelas da normal padrão:z_{0,985} \approx 2,17.
Cálculo aproximado do p-valor:p = 2\bigl(1-\Phi(4,68)\bigr) \approx 2{,}8\times10^{-6}\\ (\text{aprox. }0,0000028),muito menor que \alpha = 0,03.
Conclusão em palavras: com nível de significância de 3\% rejeita-se a hipótese de que as médias dos pesos sejam iguais; há evidência estatística forte de que as médias dos dois laboratórios são diferentes.
Força prática/interpretativa: a diferença amostral de 0,8\\ \mathrm{kg} é grande em relação ao erro padrão, por isso é detectada como estatisticamente significativa mesmo com um nível de significância relativamente rigoroso (3\%). Isso sugere que, na população, os computadores dos dois laboratórios têm médias de peso distintas.
Resposta
Rejeita-se H_0. Estatística Z \approx 4,68. p \approx 2{,}8\times10^{-6}. Há evidência significativa (ao nível de 3\%) de que as médias dos pesos dos computadores nos laboratórios 01 e 02 são diferentes.