Um equipamento laboratorial, pesado, deve ser instalado sobre vigas já disponíveis, as quais devem deformar-se o mínimo possível a fim de não interferir no equipamento e seus resultados. A viga é um perfil I 360 times 44, a qual foi aumentada com a fixação, na sua aba superior, de uma chapa medindo 225 times 19,75 mm para poder receber o equipamento. Para uma melhor fixação do equipamento, calcule o momento de inércia e raio de giração.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma viga I 360×44 (que é basicamente um IPE360 de área e momento de inércia conhecidos) e grudamos uma chapa retangular de ,mm em cima da sua mesa superior. A parada é calcular o momento de inércia total dessa seção composta e o raio de giração.
Conteúdo: Mecânica dos Materiais – propriedades geométricas de seção composta, teorema dos eixos paralelos e raio de giração.
O que vamos usar:
  • Áreas dos elementos.
  • Posicionamento dos centróides e cálculo do centróide da seção composta.
  • Teorema dos eixos paralelos: .
  • Fórmula do raio de giração: .

Passo 2

  1. Propriedades da viga IPE360 (dados de catálogo):
    • Área Ii = 8,17times10^6 mm^4 ,mm²
    • Momento de inércia em torno do eixo horizontal que passa pelo seu próprio centróide:
Explicando: o catálogo de perfis já fornece essas propriedades.

Passo 3

  1. Propriedades da chapa retangular Ap = bcdot h = 225times19,75 = 4443,75 mm^2 ,mm:
    • Área Ip = b,h^312 = 225times(19,75)^312 approx 1,45times10^5 mm^4
    • Momento de inércia em torno de seu próprio centróide (eixo horizontal)
Teoria rápida: para retângulo de base e altura , .

Passo 4

  1. Determinar a posição do centróide da seção composta:
    • Defino o eixo dp = 180 + tfrac19,752 = 180 + 9,875 = 189,875 mm horizontal e o eixo bar y = Aicdot0 + Apcdot dpAi + Ap = 4443,75 times 189,8754400 + 4443,75 approx 95,42 mm vertical passando pelo centróide da viga I.
    • A viga tem altura total ,mm, então o seu centróide fica a ,mm da mesa superior.
    • A chapa tem espessura ,mm, logo o centróide da chapa está a acima do centróide da viga I.
    • Calculamos o novo centróide da seção composta por média ponderada:
    Ou seja, o eixo neutro deslocou ,mm para cima do centróide original da viga I.

Passo 5

  1. Aplicar o teorema dos eixos paralelos para cada peça:
    • Distância da viga I ao novo eixo: Irm total = l(Ii + Ai,di^2r) + l(Ip + Ap,(dp^prime)^2r) ,mm
    • Distância da chapa ao novo eixo: Irm total = l(8,17times10^6 + 4400,(95,42)^2r) + l(1,45times10^5 + 4443,75,(94,455)^2r) ,mm
    Então
    Irm totalapprox 8,17times10^6 + 0,145times10^6 + 4,0062times10^7 + 3,9747times10^7 = 8,81times10^7 mm^4
    Substituindo:
    Calculando cada termo:
    • ,mm⁴
    • ,mm⁴
    • somando tudo dá

Passo 6

  1. Cálculo do raio de giração r ;=;raizIrm totalAi + Ap = raiz8,81times10^74400 + 4443,75 = raiz8,81times10^78843,75 approx 99,8 mm :

Resposta

Momento de inércia da seção composta:
Irm totalapprox 8,81times10^7 mm^4
Raio de giração da seção composta:
rapprox 99,8 mm

Exercícios relacionados