Na estação de tratamento de água de uma fábrica de papel e celulose, uma bomba operava a 1750 rpm para atender uma vazão de
. Nesta operação, era utilizado um rotor de 350 mm de diâmetro, e o escoamento apresentava entrada e saída radiais. Essa bomba será substituída por outra geometricamente semelhante. Determine.
a) A potência de elevação, considerando um rendimento de
.
b) As condições de operação da nova bomba que apresenta um diâmetro de 380 mm e 2000 rpm .
a) A potência de elevação, considerando um rendimento de
b) As condições de operação da nova bomba que apresenta um diâmetro de 380 mm e 2000 rpm .
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que se pede; nada de resolver ainda):
- Vazão da bomba original:
. - Rotação da bomba original:
. - Diâmetro do rotor original:
. - O escoamento apresenta entrada e saída radiais (informação importante para aplicar a fórmula de Euler simplificada que vem a seguir).
- A nova bomba é geometricamente semelhante à antiga e tem:
- Diâmetro
. - Rotação
.
- Diâmetro
- Rendimento (eficiência) a ser considerado:
.
O enunciado pede:
(a) A potência de elevação considerando o rendimento de .
(b) As condições de operação da nova bomba (ou seja, a vazão, a altura (carga) e a potência correspondentes quando usada a nova bomba).
(a) A potência de elevação considerando o rendimento de
(b) As condições de operação da nova bomba (ou seja, a vazão, a altura (carga) e a potência correspondentes quando usada a nova bomba).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, sem pular etapas). Primeiro a equação de Euler para turbomáquinas (energia por unidade de massa fornecida ao fluido pelo rotor):
onde:
-
é a altura (carga) teórica adicionada ao fluido, em metros (m). -
é a velocidade tangencial da pá no raio considerado (m/s). Para um rotor de diâmetro , no bordo (porque e ). -
é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido (m/s) nos pontos 1 (entrada) e 2 (saída). -
é a aceleração da gravidade ( ).
No caso particular citado (entrada e saída radiais) adota-se a hipótese clássica e simples usada em exercícios:
- Na entrada radial, a componente tangencial absoluta
. - Na saída, se o escoamento relativa às pás é radial (saída radial sem pré-giro e sem deslizamento), a componente relativa tangencial é zero e a componente tangencial absoluta
fica igual à velocidade tangencial da pá . Assim .
Substituindo essas hipóteses na equação de Euler obtemos a forma simples usada neste tipo de problema:
Ou seja, para entrada e saída radiais na aproximação ideal deste exercício:
Explicação intuitiva rápida: a ideia é que a pá imprime ao fluido um momento tangencial que corresponde à velocidade do bordo; com entrada sem “pré-giro” a contribuição inicial é nula e a energia por unidade de massa fica proporcional a
.
Também precisamos da potência hidráulica e da potência no eixo:
- Potência hidráulica (potência de elevação do fluido, sem perdas):
onde
é densidade (usar
para água).
- Potência no eixo (a potência fornecida ao motor, ou entrada elétrica útil necessária ao eixo da bomba) relaciona-se com o rendimento:
Finalmente, para a bomba geometricamente semelhante valem as leis de semelhança (leis de afinidade):
Na prática:
Passo 3
Calcular a carga (altura)
da bomba original usando
.
Primeiro computo
:
Substituindo números:
Vou calcular passo a passo:
Agora
:
Portanto a carga teórica adicionada pela bomba original é
.
Passo 4
Calcular a potência hidráulica fornecida à água pela bomba original:
Com
,
,
e
,
Agora a potência no eixo considerando rendimento
:
Passo 5
Aplicar as leis de semelhança para obter as condições da nova bomba.
Calcular razões:
Calcular
usando
Já calculado parcialmente, passo a passo:
Arredondando razoavelmente:
.
Calcular
usando
Passo a passo:
Arredondando:
(ou 161,4 m).
Calcular potência hidráulica
por
ou por lei de semelhança P_h ∝ N^3 D^5. Usando valores:
Potência no eixo com o mesmo rendimento:
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio para usar na prova (como lembrar disso na hora):
- Se a questão disser “geometricamente semelhante”, use as leis de semelhança:
. - Se houver entrada e saída radiais e pedirem a carga, pode-se usar a forma simplificada de Euler
com (verifique que as hipóteses do enunciado permitem isso). - Calcule primeiro
(se necessário), depois e só então . - Para a substituição por bomba semelhante, calcule razões
e e aplique as potências dos fatores.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)