Na estação de tratamento de água de uma fábrica de papel e celulose, uma bomba operava a 1750 rpm para atender uma vazão de 0,025 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Nesta operação, era utilizado um rotor de 350 mm de diâmetro, e o escoamento apresentava entrada e saída radiais. Essa bomba será substituída por outra geometricamente semelhante. Determine.
a) A potência de elevação, considerando um rendimento de 72 \%.
b) As condições de operação da nova bomba que apresenta um diâmetro de 380 mm e 2000 rpm .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que se pede; nada de resolver ainda):
  • Vazão da bomba original: Q_1 = 0{,}025\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Rotação da bomba original: N_1 = 1750\\ \mathrm{rpm}.
  • Diâmetro do rotor original: D_1 = 350\\ \mathrm{mm} = 0{,}350\\ \mathrm{m}.
  • O escoamento apresenta entrada e saída radiais (informação importante para aplicar a fórmula de Euler simplificada que vem a seguir).
  • A nova bomba é geometricamente semelhante à antiga e tem:
    • Diâmetro D_2 = 380\\ \mathrm{mm} = 0{,}380\\ \mathrm{m}.
    • Rotação N_2 = 2000\\ \mathrm{rpm}.
  • Rendimento (eficiência) a ser considerado: \eta = 72\% = 0{,}72.
O enunciado pede:
(a) A potência de elevação considerando o rendimento de 72\%.
(b) As condições de operação da nova bomba (ou seja, a vazão, a altura (carga) e a potência correspondentes quando usada a nova bomba).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, sem pular etapas). Primeiro a equação de Euler para turbomáquinas (energia por unidade de massa fornecida ao fluido pelo rotor):
\Delta h = \frac{U_2\,c_{u2} - U_1\,c_{u1}}{g},
onde:
  • \Delta h é a altura (carga) teórica adicionada ao fluido, em metros (m).
  • U = \omega r é a velocidade tangencial da pá no raio considerado (m/s). Para um rotor de diâmetro D, no bordo U=\dfrac{\pi N D}{60} (porque \omega = 2\pi N/60 e r=D/2).
  • c_{u} é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido (m/s) nos pontos 1 (entrada) e 2 (saída).
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
No caso particular citado (entrada e saída radiais) adota-se a hipótese clássica e simples usada em exercícios:
  • Na entrada radial, a componente tangencial absoluta c_{u1}=0.
  • Na saída, se o escoamento relativa às pás é radial (saída radial sem pré-giro e sem deslizamento), a componente relativa tangencial é zero e a componente tangencial absoluta c_{u2} fica igual à velocidade tangencial da pá U_2. Assim c_{u2}=U_2.
Substituindo essas hipóteses na equação de Euler obtemos a forma simples usada neste tipo de problema:
\Delta h = \frac{U_2 \cdot U_2 - U_1 \cdot 0}{g} = \frac{U_2^{2}}{g}.
Ou seja, para entrada e saída radiais na aproximação ideal deste exercício:
H = \Delta h = \frac{U^2}{g},\qquad U=\frac{\pi N D}{60}.
Explicação intuitiva rápida: a ideia é que a pá imprime ao fluido um momento tangencial que corresponde à velocidade do bordo; com entrada sem “pré-giro” a contribuição inicial é nula e a energia por unidade de massa fica proporcional a U^2.
Também precisamos da potência hidráulica e da potência no eixo:
  • Potência hidráulica (potência de elevação do fluido, sem perdas): P_h = \rho g Q H,
onde \rho é densidade (usar \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} para água).
  • Potência no eixo (a potência fornecida ao motor, ou entrada elétrica útil necessária ao eixo da bomba) relaciona-se com o rendimento:
P_{\text{eixo}} = \frac{P_h}{\eta}.
Finalmente, para a bomba geometricamente semelhante valem as leis de semelhança (leis de afinidade):
Q \propto N D^{3},\qquad H \propto N^{2} D^{2},\qquad P_h \propto N^{3} D^{5}.
Na prática:
Q_2 = Q_1\left(\frac{N_2}{N_1}\right)\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^{3},
H_2 = H_1\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{2}\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^{2},
P_{h2} = P_{h1}\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{3}\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^{5}.

Passo 3

Calcular a carga (altura) H_1 da bomba original usando H=\dfrac{U^2}{g}.
Primeiro computo U_1:
U_1 = \frac{\pi N_1 D_1}{60}.
Substituindo números:
U_1 = \frac{\pi \cdot 1750 \cdot 0{,}350}{60}.
Vou calcular passo a passo:
1750\cdot 0{,}350 = 612{,}5,
\frac{612{,}5}{60} = 10{,}208333\ldots
U_1 = \pi \times 10{,}208333\ldots \approx 3{,}14159265\times10{,}208333\ldots \approx 32{,}073\\ \mathrm{m/s}.
Agora H_1:
H_1 = \frac{U_1^{2}}{g} = \frac{(32{,}073)^{2}}{9{,}81}.
U_1^{2}\approx 1028{,}5128\quad\Rightarrow\quad H_1 \approx \frac{1028{,}5128}{9{,}81}\approx 104{,}857\\ \mathrm{m}.
Portanto a carga teórica adicionada pela bomba original é H_1 \approx 104{,}86\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a potência hidráulica fornecida à água pela bomba original:
P_{h1} = \rho g Q_1 H_1.
Com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q_1=0{,}025\\ \mathrm{m^3/s} e H_1\approx104{,}857\\ \mathrm{m},
P_{h1} = 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}025 \cdot 104{,}857 \approx 25\,716{,}3\\ \mathrm{W} \approx 25{,}72\\ \mathrm{kW}.
Agora a potência no eixo considerando rendimento \eta=0{,}72:
P_{\text{eixo,1}} = \frac{P_{h1}}{\eta} = \frac{25\,716{,}3}{0{,}72} \approx 35\,717{,}7\\ \mathrm{W} \approx 35{,}72\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Aplicar as leis de semelhança para obter as condições da nova bomba.
Calcular razões:
\frac{N_2}{N_1}=\frac{2000}{1750}=\frac{8}{7}\approx 1{,}142857,
\frac{D_2}{D_1}=\frac{0{,}380}{0{,}350}=\frac{38}{35}\approx 1{,}085714.
Calcular Q_2 usando
Q_2 = Q_1\left(\frac{N_2}{N_1}\right)\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^{3}.
Já calculado parcialmente, passo a passo:
\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^{3}=\left(\frac{38}{35}\right)^{3}\approx 1{,}279807,
\left(\frac{N_2}{N_1}\right)\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^{3}\approx 1{,}142857\times1{,}279807\approx 1{,}462300.
Q_2 \approx 0{,}025\times1{,}462300 \approx 0{,}0365575\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando razoavelmente: Q_2 \approx 0{,}03656\\ \mathrm{m^3/s}.
Calcular H_2 usando
H_2 = H_1\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{2}\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^{2}.
Passo a passo:
\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{2}=\left(\frac{8}{7}\right)^{2}=\frac{64}{49}\approx1{,}306122,
\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^{2}=\left(\frac{38}{35}\right)^{2}=\frac{1444}{1225}\approx1{,}178775,
\text{produto}\approx1{,}306122\times1{,}178775\approx1{,}539632.
H_2 \approx 104{,}857\times 1{,}539632 \approx 161{,}434\\ \mathrm{m}.
Arredondando: H_2 \approx 161{,}43\\ \mathrm{m} (ou 161,4 m).
Calcular potência hidráulica P_{h2} por P_{h2}=\rho g Q_2 H_2 ou por lei de semelhança P_h ∝ N^3 D^5. Usando valores:
P_{h2} = 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}0365575 \cdot 161{,}434 \approx 57\,901{,}6\\ \mathrm{W} \approx 57{,}90\\ \mathrm{kW}.
Potência no eixo com o mesmo rendimento:
P_{\text{eixo,2}} = \frac{P_{h2}}{\eta} = \frac{57\,901{,}6}{0{,}72} \approx 80\,417{,}2\\ \mathrm{W} \approx 80{,}42\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio para usar na prova (como lembrar disso na hora):
  • Se a questão disser “geometricamente semelhante”, use as leis de semelhança: Q\propto ND^3,\\ H\propto N^2D^2,\\ P\propto N^3D^5.
  • Se houver entrada e saída radiais e pedirem a carga, pode-se usar a forma simplificada de Euler H=U^2/g com U=\pi N D/60 (verifique que as hipóteses do enunciado permitem isso).
  • Calcule primeiro H (se necessário), depois P_h=\rho g Q H e só então P_{\text{eixo}}=P_h/\eta.
  • Para a substituição por bomba semelhante, calcule razões N_2/N_1 e D_2/D_1 e aplique as potências dos fatores.

Resposta

(a) P_{\text{eixo,1}} \approx 35{,}72\\ \mathrm{kW}\n
(b) Q_2 \approx 0{,}03656\\ \mathrm{m^3/s};\\ H_2 \approx 161{,}43\\ \mathrm{m};\\ P_{\text{eixo,2}} \approx 80{,}42\\ \mathrm{kW}

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