6.32 Resultados experimentais para a transferência de calor sobre uma placa plana com superfície extremamente rugosa puderam ser correlacionados por uma expressão com a forma
N u_{x}=0,04 \operatorname{Re}_{x}^{0,9} \operatorname{Pr}^{1 / 5}
sendo \mathrm{Nu}_{\mathrm{x}} o valor local do número de Nusselt na posição x, medida a partir da aresta frontal da placa. Obtenha uma expressão para a razão entre os coeficientes de transferência de calor médio \mathrm{h}(\text { médio })_{\mathrm{x}}é e local \mathrm{h}_{\mathrm{x}}.

Passo 1

O enunciado dá a correlação experimental local
\mathrm{Nu}_{x}=0,04\,\mathrm{Re}_{x}^{0,9}\,\mathrm{Pr}^{1/5},
onde \mathrm{Nu}_{x} é o número de Nusselt local na posição x. O que se pede é a expressão para a razão entre o coeficiente médio de transferência de calor sobre a placa até x, que chamarei de h_{\text{médio},x}é, e o coeficiente local h_{x}.
Informações relevantes e definições que vamos usar (todas retiradas do contexto padrão de convecção sobre placa plana):
  • Definição do número de Nusselt local:
\mathrm{Nu}_{x}=\frac{h_{x}\,x}{k},
onde h_{x} é o coeficiente convectivo local (em \mathrm{W/(m^2 K)}), x é a distância a partir da aresta frontal e k é a condutividade térmica do fluido.
  • Definição de Reynolds local:
\mathrm{Re}_{x}=\frac{U\,x}{\nu},
onde U é a velocidade livre e \nu é a viscosidade cinemática.
  • Definição do coeficiente médio sobre a extensão 0 a x (média aritmética da distribuição de h sobre a placa):
h_{\text{médio},x}=\frac{1}{x}\int_{0}^{x} h_{x'}\,\mathrm{d}x'.é
(Usa-se essa definição porque o fluxo de calor por unidade de área local é q''=h_x(T_s-T_\infty); a média é o valor que produz o mesmo fluxo médio.)

Passo 2

Vamos expressar h_{x} em função de x usando a correlação dada. Primeiro isolamos h_{x} a partir de \mathrm{Nu}_x:
h_{x}=\frac{\mathrm{Nu}_{x}\,k}{x}.
Substituindo a correlação experimental:
h_{x}=\frac{0,04\,\mathrm{Re}_{x}^{0,9}\,\mathrm{Pr}^{1/5}\,k}{x}.
Agora substituir \mathrm{Re}_{x}=\dfrac{U x}{\nu}. Então
\mathrm{Re}_{x}^{0,9}=\left(\frac{U x}{\nu}\right)^{0,9}=\left(\frac{U}{\nu}\right)^{0,9}x^{0,9}.
Logo
h_{x}=0,04\,k\left(\frac{U}{\nu}\right)^{0,9}\mathrm{Pr}^{1/5}\,\frac{x^{0,9}}{x}.
Simplificando a potência de x:
h_{x}=0,04\,k\left(\frac{U}{\nu}\right)^{0,9}\mathrm{Pr}^{1/5}\,x^{-0,1}.
Para deixar a notação mais limpa, defina a constante
C \equiv 0,04\,k\left(\frac{U}{\nu}\right)^{0,9}\mathrm{Pr}^{1/5},
assim
h_{x}=C\,x^{-0,1}.

Passo 3

Agora calculamos o coeficiente médio h_{\text{médio},x}é usando a definição integral:
h_{\text{médio},x}=\frac{1}{x}\int_{0}^{x} h_{x'}\,\mathrm{d}x'=\frac{1}{x}\int_{0}^{x} C\,{x'}^{-0,1}\,\mathrm{d}x'.é
Fazendo a integral, usamos a regra \int x'^{n}\,\mathrm{d}x' = \dfrac{x'^{n+1}}{n+1} (válida para n\neq-1). Aqui n=-0,1, então n+1=0,9. Portanto
\int_{0}^{x} {x'}^{-0,1}\,\mathrm{d}x'=\left[\frac{{x'}^{0,9}}{0,9}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{0,9}}{0,9}.
Assim
h_{\text{médio},x}=\frac{1}{x}\,C\,\frac{x^{0,9}}{0,9}=C\,\frac{x^{-0,1}}{0,9}.é

Passo 4

Agora formamos a razão pedida:
\frac{h_{\text{médio},x}}{h_{x}}=\frac{C\,\dfrac{x^{-0,1}}{0,9}}{C\,x^{-0,1}}=\frac{1}{0,9}.é
Simplificando numericamente,
\frac{1}{0,9}=\frac{10}{9}\approx 1,111\ldots

Passo 5

Interpretação curta (útil para a prova): a razão h_{\text{médio},x}/h_{x}é saiu constante (independente de x, de U, \nu, k, \Pr, etc.) porque a dependência de x do coeficiente local é uma potência simples x^{-0,1}, e a integral sobre 0 a x apenas introduz o fator \dfrac{1}{0,9}. Isso é um truque comum em problemas de convecção sobre placa: quando h_x\propto x^{m} com m\neq-1, a razão média/local é \dfrac{1}{m+1}.

Resposta

\displaystyle \frac{h_{\text{médio},x}}{h_{x}}=\frac{1}{0,9}=\frac{10}{9}é

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