6.32 Resultados experimentais para a transferência de calor sobre uma placa plana com superfície extremamente rugosa puderam ser correlacionados por uma expressão com a forma
sendo
o valor local do número de Nusselt na posição x, medida a partir da aresta frontal da placa. Obtenha uma expressão para a razão entre os coeficientes de transferência de calor médio
e local
.
Passo 1
O enunciado dá a correlação experimental local
onde
é o número de Nusselt local na posição
. O que se pede é a expressão para a razão entre o coeficiente médio de transferência de calor sobre a placa até
, que chamarei de
, e o coeficiente local
.
Informações relevantes e definições que vamos usar (todas retiradas do contexto padrão de convecção sobre placa plana):
- Definição do número de Nusselt local:
onde
é o coeficiente convectivo local (em
),
é a distância a partir da aresta frontal e
é a condutividade térmica do fluido.
- Definição de Reynolds local:
onde
é a velocidade livre e
é a viscosidade cinemática.
- Definição do coeficiente médio sobre a extensão
a (média aritmética da distribuição de sobre a placa):
(Usa-se essa definição porque o fluxo de calor por unidade de área local é
; a média é o valor que produz o mesmo fluxo médio.)
Passo 2
Vamos expressar
em função de
usando a correlação dada. Primeiro isolamos
a partir de
:
Substituindo a correlação experimental:
Agora substituir
. Então
Logo
Simplificando a potência de
:
Para deixar a notação mais limpa, defina a constante
assim
Passo 3
Agora calculamos o coeficiente médio
usando a definição integral:
Fazendo a integral, usamos a regra
(válida para
). Aqui
, então
. Portanto
Assim
Passo 4
Agora formamos a razão pedida:
Simplificando numericamente,
Passo 5
Interpretação curta (útil para a prova): a razão
saiu constante (independente de
, de
,
,
,
, etc.) porque a dependência de
do coeficiente local é uma potência simples
, e a integral sobre
a
apenas introduz o fator
. Isso é um truque comum em problemas de convecção sobre placa: quando
com
, a razão média/local é
.