((2,0)) Uma fábrica de chips eletrônicos sabe, com base em dados históricos, que aproximadamente (5 %) dos chips produzidos são defeituosos. Cada chip é testado individualmente antes de ser enviado ao mercado. Suponha que os testes são independentes e que a probabilidade de um chip ser defeituoso é constante e igual a (p=0,05).
Suponha que um lote de (n=20) chips seja selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que exatamente 2 chips sejam defeituosos no lote? Determine o valor esperado do número de chips defeituosos nesse lote.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes dados do texto):
  • Probabilidade de um chip ser defeituoso: p=0,05.
  • Número de chips escolhidos no lote: n=20.
  • Os testes são independentes e a probabilidade é constante em todos os chips.
O que o problema pede:
  1. A probabilidade de que exatamente 2 chips sejam defeituosos no lote.
  2. O valor esperado (média) do número de chips defeituosos nesse lote.

Passo 2

Que tipo de variável estamos contando e qual fórmula usar (intuição):
  • Cada chip pode ser classificado como “defeituoso” (sucesso, no sentido de contar defeitos) com probabilidade p ou “não defeituoso” com probabilidade 1-p.
  • Como há n testes independentes e cada teste tem a mesma probabilidade p, o número total de defeituosos X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p. Isso significa que a probabilidade de haver exatamente k defeituosos é dada pela fórmula da binomial.
Apresentando a fórmula (explicando cada símbolo):
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k entre os n elementos são defeituosos (coeficiente binomial).
  • p^{k} é a probabilidade de exatamente esses k serem defeituosos.
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de os n-k restantes serem não defeituosos.

Passo 3

Calcular a probabilidade de exatamente 2 defeituosos ( k=2):
Primeiro calcule o coeficiente binomial \binom{20}{2}. Para k=2 há uma fórmula simples:
\binom{20}{2}=\frac{20\cdot19}{2}=190.
Agora substituímos na fórmula da binomial:
P(X=2)=\binom{20}{2}\,p^{2}\,(1-p)^{18}=190\cdot(0,05)^{2}\cdot(0,95)^{18}.

Passo 4

Calcular as potências numéricas de forma clara:
  • (0,05)^{2}=0,05\cdot0,05=0,0025.
  • Para (0,95)^{18} podemos explicar uma forma prática de estimar sem fórmulas complicadas: calcular potências por quadraturas sucessivas. Por exemplo:
    • (0,95)^{2}=0,9025.
    • (0,95)^{4}=(0,95)^{2}\cdot(0,95)^{2}=0,9025^{2}=0,81450625.
    • (0,95)^{8}=(0,95)^{4}\cdot(0,95)^{4}\approx0,6634204313.
    • (0,95)^{16}=(0,95)^{8}\cdot(0,95)^{8}\approx0,439 (aproximação).
    • Finalmente (0,95)^{18}=(0,95)^{16}\cdot(0,95)^{2}\approx0,439\cdot0,9025\approx0,397.
      Essa sequência dá uma boa aproximação manual de (0,95)^{18}. (Usando técnicas de log ou calculadora obtém-se valor equivalente.)

Passo 5

Combinar os números para obter a probabilidade:
P(X=2)=190\cdot0,0025\cdot0,397\approx190\cdot0,0009925\approx0,188575.
Arredondando de forma usual, obtemos
P(X=2)\approx0,1886.
Observação prática: se no exame não for permitido calcular (0,95)^{18} exatamente, é aceitável deixar a resposta na forma exata
P(X=2)=190\cdot(0,05)^{2}\cdot(0,95)^{18},
ou fornecer a aproximação numérica como acima.

Passo 6

Calcular o valor esperado do número de defeituosos (intuição e demonstração):
  • Intuitivamente, se cada chip tem probabilidade p de ser defeituoso e há n chips, espera-se em média n vezes p defeituosos.
  • Formalmente, escrevendo X=\sum_{i=1}^{n}I_i, onde I_i é a variável indicadora que vale 1 se o i-ésimo chip é defeituoso e 0 caso contrário, temos E[I_i]=p. Como a esperança é linear,
E[X]=\sum_{i=1}^{n}E[I_i]=\sum_{i=1}^{n}p=n\,p.
Substituindo os números:
E[X]=20\cdot0,05=1.

Resposta

P(X=2)\approx0,1886
E[X]=1

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