((2,0)) Uma fábrica de chips eletrônicos sabe, com base em dados históricos, que aproximadamente (5 %) dos chips produzidos são defeituosos. Cada chip é testado individualmente antes de ser enviado ao mercado. Suponha que os testes são independentes e que a probabilidade de um chip ser defeituoso é constante e igual a (p=0,05).
Suponha que um lote de (n=20) chips seja selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que exatamente 2 chips sejam defeituosos no lote? Determine o valor esperado do número de chips defeituosos nesse lote.
Suponha que um lote de (n=20) chips seja selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que exatamente 2 chips sejam defeituosos no lote? Determine o valor esperado do número de chips defeituosos nesse lote.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes dados do texto):
- Probabilidade de um chip ser defeituoso:
. - Número de chips escolhidos no lote:
. - Os testes são independentes e a probabilidade é constante em todos os chips.
O que o problema pede:
- A probabilidade de que exatamente
chips sejam defeituosos no lote. - O valor esperado (média) do número de chips defeituosos nesse lote.
Passo 2
Que tipo de variável estamos contando e qual fórmula usar (intuição):
- Cada chip pode ser classificado como “defeituoso” (sucesso, no sentido de contar defeitos) com probabilidade
ou “não defeituoso” com probabilidade . - Como há
testes independentes e cada teste tem a mesma probabilidade , o número total de defeituosos segue a distribuição binomial com parâmetros e . Isso significa que a probabilidade de haver exatamente defeituosos é dada pela fórmula da binomial.
Apresentando a fórmula (explicando cada símbolo):
onde:
-
é o número de maneiras de escolher quais entre os elementos são defeituosos (coeficiente binomial). -
é a probabilidade de exatamente esses serem defeituosos. -
é a probabilidade de os restantes serem não defeituosos.
Passo 3
Calcular a probabilidade de exatamente
defeituosos (
):
Primeiro calcule o coeficiente binomial . Para
há uma fórmula simples:
Primeiro calcule o coeficiente binomial
Agora substituímos na fórmula da binomial:
Passo 4
Calcular as potências numéricas de forma clara:
-
- Para
podemos explicar uma forma prática de estimar sem fórmulas complicadas: calcular potências por quadraturas sucessivas. Por exemplo: -
. -
. -
. -
(aproximação). - Finalmente
.
Essa sequência dá uma boa aproximação manual de. (Usando técnicas de log ou calculadora obtém-se valor equivalente.)
-
Passo 5
Combinar os números para obter a probabilidade:
Arredondando de forma usual, obtemos
Observação prática: se no exame não for permitido calcular
exatamente, é aceitável deixar a resposta na forma exata
ou fornecer a aproximação numérica como acima.
Passo 6
Calcular o valor esperado do número de defeituosos (intuição e demonstração):
- Intuitivamente, se cada chip tem probabilidade
de ser defeituoso e há chips, espera-se em média vezes defeituosos. - Formalmente, escrevendo
, onde é a variável indicadora que vale se o -ésimo chip é defeituoso e caso contrário, temos . Como a esperança é linear,
Substituindo os números: