No permeâmetro de nível constante, qual é a fórmula para k ?
a) \mathrm{k}=(\Delta \mathrm{h} \cdot \mathrm{A} \cdot \mathrm{t}) /(\mathrm{V} \cdot \mathrm{L})
b) \mathrm{k}=(\mathrm{V} \cdot \mathrm{L}) /(\Delta \mathrm{h} \cdot \mathrm{A} \cdot \mathrm{t})
c) \mathrm{k}=2,3 \cdot(\mathrm{~L} \cdot \mathrm{a}) /(\mathrm{A} \cdot \mathrm{t}) \cdot \log (\mathrm{h} 1 / \mathrm{h} 2)
d) k=q /\left(\pi \cdot\left(y 2^{2}-y 1^{2}\right)\right) \cdot \ln (x 2 / x 1)

Passo 1

O enunciado pergunta: “No permeâmetro de nível constante, qual é a fórmula para \mathrm{k}?” e oferece quatro alternativas (a), (b), (c) e (d). Informações relevantes (presentes implicitamente nas alternativas):
  • \mathrm{k}: condutividade hidráulica que queremos encontrar.
  • \Delta \mathrm{h}: diferença de carga hidráulica (head) aplicada através da amostra (constante no permeâmetro de nível constante).
  • \mathrm{A}: área da seção transversal da amostra.
  • \mathrm{L}: comprimento (espessura) da amostra na direção do fluxo.
  • \mathrm{V}: volume de fluido coletado saindo da amostra em tempo \mathrm{t}.
  • \mathrm{t}: tempo de coleta do volume \mathrm{V}.
  • \mathrm{q} e outras letras aparecem em algumas alternativas, mas não são necessárias se usarmos \mathrm{V} e \mathrm{t}.
O que o enunciado pede: identificar, entre as alternativas, a fórmula correta para \mathrm{k} no caso de um permeâmetro de nível constante.

Passo 2

Princípio básico que vale aqui (apresentando de forma didática): em fluxo unidimensional e estacionário através de uma amostra homogênea e isotrópica, aplica-se a Lei de Darcy na sua forma simples:
Q = k \cdot A \cdot \frac{\Delta h}{L},
onde:
  • \,Q é a vazão volumétrica (volume por unidade de tempo), isto é, Q=\dfrac{V}{t};
  • \,k é a condutividade hidráulica que queremos;
  • \,A é a área da seção transversal da amostra;
  • \,\Delta h é a diferença de carga hidráulica (head) entre entrada e saída;
  • \,L é a distância entre os pontos onde \Delta h é medida (comprimento da amostra).
    Explicação intuitiva: Darcy diz que a vazão é proporcional à área e ao gradiente de head \left(\dfrac{\Delta h}{L}\right), com k sendo o fator de proporcionalidade que indica facilidade de passagem do fluido pelo material.

Passo 3

Usando Q=\dfrac{V}{t}, substituímos na equação de Darcy:
\frac{V}{t} = k \cdot A \cdot \frac{\Delta h}{L}.
Agora isolamos k. Multiplicando ambos os lados por \dfrac{L}{A\Delta h} obtemos:
k = \frac{V}{t}\cdot\frac{L}{A\Delta h}.
Reorganizando os termos:
k = \frac{V\cdot L}{\Delta h \cdot A \cdot t}.
Essa é a expressão usada no permeâmetro de nível constante (coleta-se volume V em tempo t sob \Delta h constante).

Passo 4

Comparação com as alternativas:
  • A alternativa (b) é exatamente \displaystyle k=\frac{V\cdot L}{\Delta h \cdot A \cdot t}, que coincide com a dedução acima.
  • A alternativa (a) é o inverso da fórmula correta (estaria trocando numerador por denominador).
  • A alternativa (c) corresponde à fórmula do permeâmetro de queda de nível (falling-head), onde aparece a área do piezômetro \mathrm{a} e o termo logarítmico \log(\mathrm{h}_1/\mathrm{h}_2); portanto não é para nível constante.
  • A alternativa (d) tem uma forma típica de fluxo radial ou outra configuração (não é a fórmula do permeâmetro de nível constante unidimensional simples).

Passo 5

Resumo prático para a prova: se o experimento está em regime estacionário com diferença de head constante e você mediu o volume V que saiu em tempo t através de uma amostra de área A e comprimento L, use
k=\frac{V\cdot L}{\Delta h \cdot A \cdot t}.
Isso vem diretamente de Q=kA(\Delta h/L) com Q=V/t. Vai por mim: decorando essa derivação simples você acerta rápido a questão e ainda entende de onde vem a fórmula — muito mais seguro na prova!

Resposta

b) \mathrm{k}=\dfrac{\mathrm{V}\cdot \mathrm{L}}{\Delta \mathrm{h}\cdot \mathrm{A}\cdot \mathrm{t}}

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