Uma pessoa dispara uma bala de prata cuja massa é de 2,00 gramas com uma velocidade inicial de 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em uma parede de pinho, onde a bala para. Supondo que toda a energia gerada pelo impacto permanece dentro da bala, qual seria a mudança de temperatura da bala?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a mudança de temperatura da bala:
  • Massa da bala: m = 2{,}00\\ \mathrm{g}.
  • Velocidade inicial da bala: v = 200\\ \mathrm{m/s}.
  • A bala para na parede (toda a energia cinética é assumida como permanecendo na bala).
    O que se pede: calcular a variação de temperatura \Delta T da bala supondo que toda a energia cinética se transforma em energia interna da bala.

Passo 2

Converter unidades para o SI (fator importante para manter as contas consistentes).
  • Massa: m = 2{,}00\\ \mathrm{g} = 0{,}00200\\ \mathrm{kg}.
    Vou manter os zeros significativos para acompanhar a precisão dos dados.

Passo 3

Energia cinética inicial da bala: explicar a fórmula.
A energia cinética de um objeto de massa m e velocidade v é dada por
E_k=\tfrac{1}{2}mv^{2},
onde
  • E_k é a energia em joules ( \mathrm{J}),
  • m é a massa em quilogramas ( \mathrm{kg}),
  • v é a velocidade em metros por segundo ( \mathrm{m/s}).

Passo 4

Calcular numericamente a energia cinética usando os valores fornecidos.
E_k=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}00200\\ \mathrm{kg}\cdot (200\\ \mathrm{m/s})^{2}.
Fazendo as contas passo a passo:
(200\\ \mathrm{m/s})^{2}=40\,000\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}00200 = 0{,}00100,
E_k = 0{,}00100\cdot 40\,000 = 40\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia disponível para aquecer a bala é Q=40\\ \mathrm{J} (assumindo conversão total em calor na bala).

Passo 5

Relação entre calor absorvido e variação de temperatura: explicar o conceito de capacidade térmica específica.
A quantidade de calor Q necessária para elevar a temperatura de um corpo de massa m em \Delta T é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde
  • c é o calor específico do material em \mathrm{J/(kg\cdot K)},
  • m é a massa em \mathrm{kg},
  • \Delta T é a variação de temperatura em kelvin ( \mathrm{K}) ou graus Celsius (mesma diferença numérica).
    Para a prata, um valor padrão do calor específico é
c \approx 235\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Esse número vem de tabelas de propriedades térmicas; estamos assumindo-o constante no intervalo de temperatura considerado.)

Passo 6

Isolar \Delta T e aplicar números.
\Delta T=\frac{Q}{m\,c}.
Substituindo Q=40\\ \mathrm{J}, m=0{,}00200\\ \mathrm{kg} e c=235\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}:
m\,c = 0{,}00200\cdot 235 = 0{,}47\\ \mathrm{J/K},
\Delta T = \frac{40}{0{,}47}\\ \mathrm{K} \approx 85{,}106\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação final (contando algarismos significativos).
Os dados iniciais têm três algarismos significativos (por exemplo, 2{,}00\\ \mathrm{g}), então podemos dar \Delta T com três algarismos significativos:
\Delta T \approx 85{,}1\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Observações sobre as hipóteses feitas (importante para a prova e para interpretar o resultado):
  • Foi assumido que toda a energia cinética vira calor na bala; na prática parte vai para a parede, deformação, som etc., então esse é um limite superior para \Delta T.
  • Foi assumido calor específico constante; para grandes variações de temperatura isso pode mudar um pouco.
  • Não foi considerada mudança de fase (a prata funde a cerca de 961^\circ\mathrm{C}), aqui o aumento de temperatura calculado é muito menor que isso, então a hipótese de sem fusão é razoável.

Resposta

\Delta T \approx 85{,}1\\ \mathrm{K}

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