Q4. (2.5 pontos) Dado o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+t y=\sin (t) \quad \text { com } \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, y^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1
  • Justifique porque t=\frac{\pi}{2} é um ponto ordinário.
  • Determine os primeiros cinco coeficientes da solução em serie de potencia do problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''+t\,y=\sin(t),\qquad y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\;y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1.
As perguntas são:
  • Justificar por que t=\dfrac{\pi}{2} é um ponto ordinário.
  • Determinar os primeiros cinco coeficientes da solução em série de potências centrada em t_0=\dfrac{\pi}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é de segunda ordem linear não homogênea com coeficiente do y'' igual a 1.
  • Condições iniciais em t_0=\dfrac{\pi}{2}: y(t_0)=0 e y'(t_0)=-1.

Passo 2

Justificação de por que t=\dfrac{\pi}{2} é um ponto ordinário.
Colocando a equação na forma padrão
y''+p(t)y'+q(t)y = g(t)
temos aqui p(t)=0, q(t)=t e g(t)=\sin(t). Um ponto t_0 é ordinário se p(t), q(t) e g(t) forem analíticos (podem ser representados por série de potências) numa vizinhança de t_0. As funções p(t)=0, q(t)=t e g(t)=\sin(t) são funções elementares analíticas para todo t, em particular em t_0=\dfrac{\pi}{2}. Portanto t=\dfrac{\pi}{2} é um ponto ordinário.

Passo 3

Escolha da série e expressões das derivadas.
Como o ponto é ordinário, buscamos solução em série de potências em torno de t_0=\dfrac{\pi}{2}. Para simplificar a notação, defina s=t-t_0. Escrevemos
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n s^n.
As derivadas são
y'(t)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n s^{\,n-1},\qquad y''(t)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} s^{\,n}.
A condição inicial em termos de a_n (avaliando em s=0) dá
y(t_0)=a_0=0,\qquad y'(t_0)=a_1=-1.

Passo 4

Expansão dos termos da equação e do termo direito.
O termo [t,y) é t y = (t_0+s)\,y = t_0\sum_{n=0}^\infty a_n s^n + \sum_{n=0}^\infty a_n s^{\,n+1}.
O lado direito, usando t=t_0+s e t_0=\dfrac{\pi}{2}, é
\sin(t)=\sin\!\big(t_0+s\big)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+s\right)=\cos(s).
A série de \cos(s) é
\cos(s)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!}\, s^{\,2k}.
Para identificar coeficientes por potência s^n convém definir
c_n = \begin{cases} \dfrac{(-1)^{k}}{(2k)!}, & n=2k\\ (\text{n par}),\\[6pt] 0, & n\\ \text{ímpar}. \end{cases}í
Substituindo tudo na equação y''+t y=\sin(t)\] e comutando as séries, o coeficiente de \(s^n no lado esquerdo é
(n+2)(n+1)a_{n+2} + t_0 a_n + a_{n-1},
onde por convenção a_{-1}=0. Portanto, igualando coeficientes de s^n obtemos a relação de recorrência
(n+2)(n+1)a_{n+2} + t_0 a_n + a_{n-1} = c_n,\qquad n\ge 0.
Isto implica
a_{n+2}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}\left(c_n - t_0 a_n - a_{n-1}\right).]

Passo 5

Cálculo explícito dos primeiros coeficientes a_0,a_1,a_2,a_3,a_4.
Já sabemos pelos dados iniciais:
a_0=0,\qquad a_1=-1.
Agora use a recorrência com t_0=\dfrac{\pi}{2}.
Para n=0: c_0=\dfrac{(-1)^0}{0!}=1. A recorrência dá
2\cdot1\;a_2 + t_0 a_0 + a_{-1} = 1 \quad\Rightarrow\quad 2 a_2 + t_0\cdot 0 + 0 = 1,
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a_2=\dfrac{1}{2}.
Para n=1: c_1=0. A recorrência dá
3\cdot2\;a_3 + t_0 a_1 + a_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad 6 a_3 + t_0(-1) + 0 = 0,
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a_3 = \dfrac{t_0}{6} = \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{12}.
Para n=2: c_2=\dfrac{(-1)^1}{2!}=-\dfrac{1}{2}. A recorrência dá
4\cdot3\;a_4 + t_0 a_2 + a_1 = -\dfrac{1}{2}.
Substituindo a_2=\dfrac{1}{2} e a_1=-1,
12 a_4 + t_0\cdot \dfrac{1}{2} -1 = -\dfrac{1}{2}.
Isolando a_4,
12 a_4 = -\dfrac{1}{2} +1 - \dfrac{t_0}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{t_0}{2} = \dfrac{1-t_0}{2},
portanto
a_4 = \dfrac{1-t_0}{24} = \dfrac{1-\tfrac{\pi}{2}}{24} = \dfrac{2-\pi}{48}.
Assim os primeiros cinco coeficientes (do a_0 ao a_4) são obtidos.

Resposta

a_0=0
a_1=-1
a_2=\dfrac{1}{2}
a_3=\dfrac{\pi}{12}
a_4=\dfrac{1-\tfrac{\pi}{2}}{24} = \dfrac{2-\pi}{48}

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