Justificar por que t=\dfrac{\pi}{2} é um ponto ordinário.
Determinar os primeiros cinco coeficientes da solução em série de potências centrada em t_0=\dfrac{\pi}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
A equação é de segunda ordem linear não homogênea com coeficiente do y'' igual a 1.
Condições iniciais em t_0=\dfrac{\pi}{2}: y(t_0)=0 e y'(t_0)=-1.
Passo 2
Justificação de por que t=\dfrac{\pi}{2} é um ponto ordinário.
Colocando a equação na forma padrão
y''+p(t)y'+q(t)y = g(t)
temos aqui p(t)=0, q(t)=t e g(t)=\sin(t). Um ponto t_0 é ordinário se p(t), q(t) e g(t) forem analíticos (podem ser representados por série de potências) numa vizinhança de t_0. As funções p(t)=0, q(t)=t e g(t)=\sin(t) são funções elementares analíticas para todo t, em particular em t_0=\dfrac{\pi}{2}. Portanto t=\dfrac{\pi}{2} é um ponto ordinário.
Passo 3
Escolha da série e expressões das derivadas.
Como o ponto é ordinário, buscamos solução em série de potências em torno de t_0=\dfrac{\pi}{2}. Para simplificar a notação, defina s=t-t_0. Escrevemos
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n s^n.
As derivadas são
y'(t)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n s^{\,n-1},\qquad y''(t)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} s^{\,n}.
A condição inicial em termos de a_n (avaliando em s=0) dá
y(t_0)=a_0=0,\qquad y'(t_0)=a_1=-1.
Passo 4
Expansão dos termos da equação e do termo direito.
O termo [t,y) é t y = (t_0+s)\,y = t_0\sum_{n=0}^\infty a_n s^n + \sum_{n=0}^\infty a_n s^{\,n+1}.
O lado direito, usando t=t_0+s e t_0=\dfrac{\pi}{2}, é