Calcule:
\int_{0}^{2} \int_{\frac{y}{2}}^{1} \cos \left(x^{2}\right) d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{\frac{y}{2}}^{1}\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A variável de integração interior é x, com limites x=\dfrac{y}{2} até x=1.
  • A variável de integração exterior é y, com limites y=0 até y=2.
  • O integrando é \cos\!\left(x^{2}\right).
    O que se pede: o valor numérico desta integral dupla.

Passo 2

Motivação para a estratégia: tentar integrar \cos\!\left(x^{2}\right) diretamente em x não é prático porque não existe primitiva elementar de \cos\!\left(x^{2}\right). Por isso vamos trocar a ordem de integração (integrar primeiro em y), o que costuma simplificar quando o integrando não depende da variável interna após a troca. Primeiro identifiquemos a região de integração no plano xy.
A região D é dada por:
0\le y\le 2,\qquad \frac{y}{2}\le x\le 1.
A desigualdade \frac{y}{2}\le x equivale a y\le 2x. Juntando com 0\le y\le2 e com x\le1, para um dado x temos
0\le y\le \min\{2,\;2x\}.
Como x deve satisfazer x\ge \frac{y}{2} para algum y\in[0,2], o menor x possível é x=0 (quando y=0), e o maior é x=1. Para x em [0,1] vale 2x\le 2, logo \min\{2,2x\}=2x. Portanto, trocando a ordem obtemos:
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 2x.

Passo 3

Escrevendo a integral com a ordem trocada:
\int_{0}^{2}\int_{\frac{y}{2}}^{1}\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{2x}\cos\!\left(x^{2}\right)\,dy\,dx.
Agora integramos em y primeiro. Como \cos\!\left(x^{2}\right) não depende de y, a integral interna é simplesmente o produto do integrando pela medida do intervalo em y:
\int_{0}^{2x}\cos\!\left(x^{2}\right)\,dy = \bigl(2x-0\bigr)\cos\!\left(x^{2}\right)=2x\cos\!\left(x^{2}\right).
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{1}2x\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx.

Passo 4

Resolver a integral \displaystyle \int_{0}^{1}2x\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx por substituição. Seja
u = x^{2}.
Então
du = 2x\,dx.
Quando x=0 temos u=0. Quando x=1 temos u=1. A integral em x transforma-se em uma integral em u:
\int_{0}^{1}2x\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx = \int_{0}^{1}\cos(u)\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u:
\int_{0}^{1}\cos(u)\,du = \sin(u)\Big|_{0}^{1} = \sin(1)-\sin(0).
Como \sin(0)=0, o resultado é simplesmente \sin(1).

Resposta

\sin(1)

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