A variável de integração interior é x, com limites x=\dfrac{y}{2} até x=1.
A variável de integração exterior é y, com limites y=0 até y=2.
O integrando é \cos\!\left(x^{2}\right).
O que se pede: o valor numérico desta integral dupla.
Passo 2
Motivação para a estratégia: tentar integrar \cos\!\left(x^{2}\right) diretamente em x não é prático porque não existe primitiva elementar de \cos\!\left(x^{2}\right). Por isso vamos trocar a ordem de integração (integrar primeiro em y), o que costuma simplificar quando o integrando não depende da variável interna após a troca. Primeiro identifiquemos a região de integração no plano xy.
A região D é dada por:
0\le y\le 2,\qquad \frac{y}{2}\le x\le 1.
A desigualdade \frac{y}{2}\le x equivale a y\le 2x. Juntando com 0\le y\le2 e com x\le1, para um dado x temos
0\le y\le \min\{2,\;2x\}.
Como x deve satisfazer x\ge \frac{y}{2} para algum y\in[0,2], o menor x possível é x=0 (quando y=0), e o maior é x=1. Para x em [0,1] vale 2x\le 2, logo \min\{2,2x\}=2x. Portanto, trocando a ordem obtemos:
Agora integramos em y primeiro. Como \cos\!\left(x^{2}\right) não depende de y, a integral interna é simplesmente o produto do integrando pela medida do intervalo em y: