QUESTÃO 1 ( 3,0 pontos): Deseja-se filtrar uma suspensão de barita (
) em água
de sólido/litro de água. Experiências de laboratório indicam que; - A torta é incompressível e a realação (massa de torta molhado)/(massa de torta seca) é 1,5; - A resistividade da torta é de
- A resistência do meio filtrante é
. Para uma produção de
de filtrado determinar:
b)
Filtro rotativo Oliver: o comprimento de filtro sabendo-se que tem um diâmetro de 3 ft e que
de sua superfície encontra-se submersa. Rpm
. Queda de pressão na filtração de 70 kPa .
b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do enunciado (pegos diretamente do enunciado):
- Densidade do sólido:
. - Concentração de sólidos na suspensão:
de sólido por litro de água. - A torta é incompressível e a razão
. - Resistividade específica da torta (resistividade):
. - Resistência do meio filtrante:
. - Produção desejada de filtrado:
. - Filtro: tipo rotativo Oliver, diâmetro
e de sua circunferência está submersa. - Velocidade de rotação:
. - Queda de pressão na filtração:
.
O que a questão pede:
- (b) Determinar o comprimento do filtro (comprimento axial
) sabendo os dados acima (parte b específica do filtro rotativo Oliver).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda): para filtros rotativos do tipo Oliver podemos usar a teoria de filtração de pressão constante aplicada localmente a cada porção da superfície do tambor. Cada ponto da superfície filtra durante o tempo em que está submerso a cada rotação; esse tempo é
fração submersa
período da rotação. A relação clássica da filtração para torta incompressível e pressão constante é a equação de filtragem de placa e quadro (equação de Ruth / Carman–Kozeny simplificada), que relaciona o volume de filtrado por área
com o tempo de filtração
:
onde explico cada símbolo no próximo passo. No caso rotativo, essa equação vale para a submersão de cada elemento da superfície: tomar
e
volume de filtrado por área por revolução. Depois, a vazão total
é dada por:
onde
é a área lateral do tambor e
é a rotação em rotações por segundo. A partir daí calcula-se
.
Passo 3
Definição e significado das variáveis da fórmula de filtração (aula rápida e prática):
-
= viscosidade dinâmica do fluido (água a ): . -
= resistividade específica da torta, unidade original dada: . (Explico conversão abaixo.) -
= concentração de sólidos usada na equação de filtração; é o “módulo de sólidos” usado na teoria clássica e tem unidades de massa de sólidos por volume de filtrado. Aqui a concentração dada será convertida para . -
= queda de pressão aplicada sobre a superfície filtrante (em Pa). -
= resistência do meio filtrante (dada em , converter para ). -
= volume de filtrado acumulado por unidade de área (unidade: m). -
= tempo de filtração correspondente a esse (unidade: s). No caso rotativo, (tempo submerso por revolução).
Observação importante (didática): a fórmula acima vem de integrar a lei de Darcy considerando que a resistência da torta cresce linearmente com a massa de sólidos depositada (torta incompressível), e que a massa de torta por área é proporcional ao volume de filtrado por área via. Essa última relação significa: para cada volume de filtrado passado através de uma área , acumula-se uma massa de sólidos proporcional à concentração .
Passo 4
Conversões de unidades para trabalhar em SI (passo-a-passo, com números):
- Concentração:
. Em notação TeX: . - Resistividade específica:
.
Converterpara : Logo - Resistência do meio filtrante:
- Viscosidade da água a
: . - Queda de pressão:
. - Velocidade de rotação:
. Denoto . - Fração submersa:
. Período da rotação . Tempo submerso por revolução: - Diâmetro dado:
.
Passo 5
Escrever a equação de filtração aplicável ao ciclo de submersão de cada ponto da superfície:
Aqui:
-
(tempo de filtração por revolução e por ponto da superfície). -
é o volume de filtrado por área produzido por ponto durante uma revolução (tem dimensão de comprimento: m).
A estratégia agora é: resolver essa equação quadrática para(por revolução), depois usar
e isolar
a partir de
.
Passo 6
Calcular os coeficientes numéricos da equação quadrática (faço passo a passo):
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Coeficiente da parte quadrática:
Calcular numericamente:
Coeficiente da parte linear:
Calcular numericamente:
Portanto a equação fica numericamente:
Passo 7
Resolver a quadrática para
. Chamo
. Temos
Delta:
Calcular:
Raiz positiva:
Numericamente:
Portanto
(Interpretação: a cada revolução, cada unidade de área produz
de filtrado por metro quadrado de área da superfície do tambor.)
Passo 8
Calcular vazão por área por tempo e área total necessária:
- Rotação
. - Fluxo específico (vazão por unidade de área) em regime contínuo:
Em unidades práticas por hora:
Produção desejada:
. Área total necessária:
Passo 9
Relacionar área total com comprimento do tambor e calcular
:
A área lateral do tambor é
A área lateral do tambor é
Isolando
:
Usando
e
:
Passo 10
Conclusão, verificação rápida de ordens de grandeza e comentário didático:
- O comprimento obtido é razoável para um tambor com diâmetro
e produção . - Observação sobre dados não usados: a densidade do sólido
e a razão massa molhada / seca foram fornecidas no enunciado; para o cálculo do comprimento, usando a formulação padrão (torta incompressível, ), não foi necessário usar diretamente nem a razão molhada/seca. Eles seriam necessários se se quisesse, por exemplo, calcular a massa de torta formada por revolução ou volume físico da torta, mas a equação de filtração já relaciona diretamente com via .