QUESTÃO 1 ( 3,0 pontos): Deseja-se filtrar uma suspensão de barita ( \rho_{\mathrm{s}}=4,3 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ) em água \left(20^{\circ} \mathrm{C}\right), 20 \mathrm{~g} de sólido/litro de água. Experiências de laboratório indicam que; - A torta é incompressível e a realação (massa de torta molhado)/(massa de torta seca) é 1,5; - A resistividade da torta é de 7,5 \times 10^{9} \mathrm{~cm} / \mathrm{g} - A resistência do meio filtrante é 1,2 \times 10^{8} \mathrm{~cm}^{-1}. Para uma produção de 15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de filtrado determinar:
b) (1,5) Filtro rotativo Oliver: o comprimento de filtro sabendo-se que tem um diâmetro de 3 ft e que 1 / 3 de sua superfície encontra-se submersa. Rpm =5. Queda de pressão na filtração de 70 kPa .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do enunciado (pegos diretamente do enunciado):
  • Densidade do sólido: \rho_{\mathrm{s}}=4{,}3\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Concentração de sólidos na suspensão: 20\\ \mathrm{g} de sólido por litro de água.
  • A torta é incompressível e a razão \dfrac{\text{massa torta molhada}}{\text{massa torta seca}}=1{,}5.
  • Resistividade específica da torta (resistividade): \alpha=7{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{cm/g}.
  • Resistência do meio filtrante: R_{m}=1{,}2\times10^{8}\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • Produção desejada de filtrado: 15\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Filtro: tipo rotativo Oliver, diâmetro D=3\\ \mathrm{ft} e \dfrac{1}{3} de sua circunferência está submersa.
  • Velocidade de rotação: \text{rpm}=5.
  • Queda de pressão na filtração: \Delta p=70\\ \mathrm{kPa}.
O que a questão pede:
  • (b) Determinar o comprimento do filtro (comprimento axial L) sabendo os dados acima (parte b específica do filtro rotativo Oliver).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda): para filtros rotativos do tipo Oliver podemos usar a teoria de filtração de pressão constante aplicada localmente a cada porção da superfície do tambor. Cada ponto da superfície filtra durante o tempo em que está submerso a cada rotação; esse tempo é \;t_{\text{sub}}\;=\; fração submersa \times período da rotação. A relação clássica da filtração para torta incompressível e pressão constante é a equação de filtragem de placa e quadro (equação de Ruth / Carman–Kozeny simplificada), que relaciona o volume de filtrado por área \dfrac{V}{A} com o tempo de filtração t:
t=\frac{\mu\alpha c}{2\Delta p}\left(\frac{V}{A}\right)^{2}+\frac{\mu R_{m}}{\Delta p}\left(\frac{V}{A}\right),
onde explico cada símbolo no próximo passo. No caso rotativo, essa equação vale para a submersão de cada elemento da superfície: tomar t=t_{\text{sub}} e \dfrac{V}{A}= volume de filtrado por área por revolução. Depois, a vazão total Q é dada por:
Q = A_{\text{total}}\cdot N\cdot\frac{V}{A},
onde A_{\text{total}}=\pi D L é a área lateral do tambor e N é a rotação em rotações por segundo. A partir daí calcula-se L.

Passo 3

Definição e significado das variáveis da fórmula de filtração (aula rápida e prática):
  • \mu = viscosidade dinâmica do fluido (água a 20^\circ\mathrm{C}): \mu\approx1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • \alpha = resistividade específica da torta, unidade original dada: \mathrm{cm/g}. (Explico conversão abaixo.)
  • c = concentração de sólidos usada na equação de filtração; é o “módulo de sólidos” usado na teoria clássica e tem unidades de massa de sólidos por volume de filtrado. Aqui a concentração dada 20\\ \mathrm{g/L} será convertida para \mathrm{kg/m^{3}}.
  • \Delta p = queda de pressão aplicada sobre a superfície filtrante (em Pa).
  • R_{m} = resistência do meio filtrante (dada em \mathrm{cm^{-1}}, converter para \mathrm{m^{-1}}).
  • \dfrac{V}{A} = volume de filtrado acumulado por unidade de área (unidade: m).
  • t = tempo de filtração correspondente a esse \dfrac{V}{A} (unidade: s). No caso rotativo, t=t_{\text{sub}} (tempo submerso por revolução).
    Observação importante (didática): a fórmula acima vem de integrar a lei de Darcy considerando que a resistência da torta cresce linearmente com a massa de sólidos depositada (torta incompressível), e que a massa de torta por área é proporcional ao volume de filtrado por área via m/A = c\,(V/A). Essa última relação significa: para cada volume de filtrado V passado através de uma área A, acumula-se uma massa de sólidos m proporcional à concentração c.

Passo 4

Conversões de unidades para trabalhar em SI (passo-a-passo, com números):
  • Concentração: 20\\ \mathrm{g/L}=20\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Em notação TeX: c=20\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Resistividade específica: \alpha=7{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{cm/g}.
    Converter \mathrm{cm/g} para \mathrm{m/kg}: 1\\ \mathrm{cm/g} = \frac{0{,}01\\ \mathrm{m}}{10^{-3}\\ \mathrm{kg}}=10\\ \mathrm{m/kg}.Logo \alpha_{\text{SI}}=7{,}5\times10^{9}\times10=7{,}5\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg}.
  • Resistência do meio filtrante: R_{m}=1{,}2\times10^{8}\\ \mathrm{cm^{-1}}=1{,}2\times10^{8}\times100=1{,}2\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Viscosidade da água a 20^\circ\mathrm{C}: \mu=1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Queda de pressão: \Delta p=70\\ \mathrm{kPa}=70\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • Velocidade de rotação: 5\\ \mathrm{rpm}=\dfrac{5}{60}\\ \mathrm{rev/s}=0{,}083333\\ \mathrm{s^{-1}}. Denoto N=\dfrac{5}{60}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Fração submersa: f_{\text{sub}}=\dfrac{1}{3}. Período da rotação T=\dfrac{1}{N}=12\\ \mathrm{s}. Tempo submerso por revolução: t_{\text{sub}}=f_{\text{sub}}\,T=\frac{1}{3}\times12\\ \mathrm{s}=4\\ \mathrm{s}.
  • Diâmetro dado: D=3\\ \mathrm{ft}=3\times0{,}3048\\ \mathrm{m}=0{,}9144\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Escrever a equação de filtração aplicável ao ciclo de submersão de cada ponto da superfície:
t_{\text{sub}}=\frac{\mu\alpha c}{2\Delta p}\left(\frac{V}{A}\right)^{2}+\frac{\mu R_{m}}{\Delta p}\left(\frac{V}{A}\right).
Aqui:
  • t_{\text{sub}}=4\\ \mathrm{s} (tempo de filtração por revolução e por ponto da superfície).
  • \dfrac{V}{A} é o volume de filtrado por área produzido por ponto durante uma revolução (tem dimensão de comprimento: m).
    A estratégia agora é: resolver essa equação quadrática para \dfrac{V}{A} (por revolução), depois usar
Q = A_{\text{total}}\cdot N\cdot\frac{V}{A} \qquad\text{com}\qquad A_{\text{total}}=\pi D L,
e isolar L a partir de Q.

Passo 6

Calcular os coeficientes numéricos da equação quadrática (faço passo a passo):
Primeiro calcule \alpha c:
\alpha_{\text{SI}}c = \left(7{,}5\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg}\right)\times\left(20\\ \mathrm{kg/m^{3}}\right) =1{,}5\times10^{12}\\ \mathrm{m^{-2}}.
Coeficiente da parte quadrática:
a=\frac{\mu\alpha c}{2\Delta p} = \frac{1{,}002\times10^{-3}\times1{,}5\times10^{12}}{2\times70{,}000}.
Calcular numericamente:
1{,}002\times10^{-3}\times1{,}5\times10^{12}=1{,}503\times10^{9}.
a=\frac{1{,}503\times10^{9}}{140{,}000}=1{,}0736\times10^{4}\\ \mathrm{s/m^{2}}.
Coeficiente da parte linear:
b=\frac{\mu R_{m}}{\Delta p} =\frac{1{,}002\times10^{-3}\times1{,}2\times10^{10}}{70{,}000}.
Calcular numericamente:
1{,}002\times10^{-3}\times1{,}2\times10^{10}=1{,}2024\times10^{7},
b=\frac{1{,}2024\times10^{7}}{70{,}000}=171{,}7714\\ \mathrm{s/m}.
Portanto a equação fica numericamente:
4 = 1{,}0736\times10^{4}\left(\frac{V}{A}\right)^{2} + 171{,}7714\left(\frac{V}{A}\right).

Passo 7

Resolver a quadrática para \dfrac{V}{A}. Chamo x=\dfrac{V}{A}. Temos
1{,}0736\times10^{4}x^{2}+171{,}7714x-4=0.
Delta:
\Delta=b^{2}-4ac=171{,}7714^{2}+4\times1{,}0736\times10^{4}\times4.
Calcular:
171{,}7714^{2}\approx2{,}9505\times10^{4}, \qquad 4\cdot a\cdot4=16\cdot1{,}0736\times10^{4}=1{,}71776\times10^{5}.
\Delta\approx2{,}9505\times10^{4}+1{,}71776\times10^{5}=2{,}01281\times10^{5}.
\sqrt{\Delta}\approx448{,}645.
Raiz positiva:
x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-171{,}7714+448{,}645}{2\times1{,}0736\times10^{4}}.
Numericamente:
x\approx\frac{276{,}8736}{21{,}472}=0{,}01289\\ \mathrm{m}.
Portanto
\boxed{\dfrac{V}{A}\text{ por revolução }=0{,}01289\\ \mathrm{m}=12{,}89\\ \mathrm{mm}.}çã
(Interpretação: a cada revolução, cada unidade de área produz \,0{,}01289\\ \mathrm{m^{3}} de filtrado por metro quadrado de área da superfície do tambor.)

Passo 8

Calcular vazão por área por tempo e área total necessária:
  • Rotação N=\dfrac{5}{60}=0{,}083333\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Fluxo específico (vazão por unidade de área) em regime contínuo:
q_{\text{área}}=\left(\frac{V}{A}\right)\cdot N =0{,}01289\\ \mathrm{m}\times0{,}083333\\ \mathrm{s^{-1}}=0{,}0010741\\ \mathrm{m/s}.á
Em unidades práticas por hora:
q_{\text{área}}=0{,}0010741\\ \mathrm{m^{3}/(m^{2}\cdot s)}\times3600\\ \mathrm{s/h}=3{,}8668\\ \mathrm{m^{3}/(m^{2}\cdot h)}.á
Produção desejada: Q=15\\ \mathrm{m^{3}/h}. Área total necessária:
A_{\text{total}}=\frac{Q}{q_{\text{área}}}=\frac{15}{3{,}8668}=3{,}879\\ \mathrm{m^{2}}.á

Passo 9

Relacionar área total com comprimento do tambor e calcular L:
A área lateral do tambor é
A_{\text{total}}=\pi D L.
Isolando L:
L=\frac{A_{\text{total}}}{\pi D}.
Usando D=0{,}9144\\ \mathrm{m} e A_{\text{total}}=3{,}879\\ \mathrm{m^{2}}:
L=\frac{3{,}879}{\pi\times0{,}9144}=\frac{3{,}879}{2{,}87278}=1{,}3503\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Conclusão, verificação rápida de ordens de grandeza e comentário didático:
  • O comprimento obtido é razoável para um tambor com diâmetro 0{,}9144\\ \mathrm{m} e produção 15\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Observação sobre dados não usados: a densidade do sólido \rho_{\mathrm{s}} e a razão massa molhada / seca foram fornecidas no enunciado; para o cálculo do comprimento, usando a formulação padrão (torta incompressível, m/A=c\,V/A), não foi necessário usar diretamente \rho_{\mathrm{s}} nem a razão molhada/seca. Eles seriam necessários se se quisesse, por exemplo, calcular a massa de torta formada por revolução ou volume físico da torta, mas a equação de filtração já relaciona diretamente m/A com V/A via c.

Resposta

L=1,35\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados