Questão 3 ( \mathbf{2 , 0} Pontos): Uma solução com densidade 1100 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade 2 \times 10^{-3} Pa.s está escoando por gravidade a uma taxa de 0,24 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} através de um leito de partículas com 1,4 \mathrm{~mm} de diâmetro médio e esfericidade de 0,92 . O leito tem diâmetro igual 0,2 \mathrm{~m} e comprimento igual a 0,5 \mathrm{~m}, e a porosidade pode ser assumida como 0,3 . Calcule a altura de líquido acima do topo do leito.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não vou resolver nada ainda, só organizar os dados).
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
    • densidade da solução: \rho = 1100\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3},
    • viscosidade: \mu = 2\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s},
    • vazão mássica: \dot{m} = 0,24\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1},
    • diâmetro médio das partículas: d_p = 1{,}4\\ \mathrm{mm} = 0{,}0014\\ \mathrm{m},
    • esfericidade: \psi = 0{,}92,
    • diâmetro do leito: D = 0{,}2\\ \mathrm{m},
    • comprimento do leito (altura preenchida por partículas): L = 0{,}5\\ \mathrm{m},
    • porosidade: \epsilon = 0{,}3.
  • O que a questão pede:
    • Calcular a altura de líquido acima do topo do leito, ou seja, a coluna de líquido h necessária para vencer a perda de carga através do leito por gravidade.

Passo 2

Estratégia e conceitos usados (explicando didaticamente):
  • Para que o líquido flua por gravidade através do leito, a diferença de pressão entre superfície livre e fundo do leito deve ser igual à perda de carga gerada pelo escoamento no leito. A coluna de líquido h produz uma pressão \Delta p = \rho g h.
  • Assim, basta calcular a perda de pressão total \Delta p através do leito (devida ao escoamento) e obter h = \dfrac{\Delta p}{\rho g}.
  • Para calcular a perda de carga em um leito de partículas usamos a equação de Ergun, que combina termos viscoso (laminar) e inercial (turbulento/transitório). A forma usual é:
\frac{\Delta p}{L}=\frac{150\,\mu\,(1-\epsilon)^2}{\epsilon^3\,d_p^2}\,u_0 \;+\; \frac{1{,}75\,\rho\,(1-\epsilon)}{\epsilon^3\,d_p}\,u_0^2,
onde u_0 é a velocidade superficial (velocidade média baseada na área livre de fluxo), e d_p é o diâmetro característico das partículas.
  • Para partículas não perfeitamente esféricas devemos corrigir o termo através da esfericidade: a área específica efetiva implica usar o diâmetro equivalente d_{eq}=d_p\,\psi (isso aumenta a resistência quando \psi<1). Vou usar d_{eq}=d_p\psi na Ergun.
  • Antes de aplicar, calculo a vazão volumétrica, a área do leito e a velocidade superficial u_0.

Passo 3

Calcular vazão volumétrica e velocidade superficial:
  • Vazão volumétrica Q obtida de \dot{m}=\rho Q:
Q=\frac{\dot{m}}{\rho}=\frac{0,24}{1100}=0{,}00021818\ldots\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}\approx 2{,}18\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.
  • Área da seção do leito A=\dfrac{\pi D^2}{4}. Como D=0{,}2\\ \mathrm{m},
A=\pi\frac{(0{,}2)^2}{4}=\pi(0{,}01)=0{,}0314159\\ \mathrm{m}^2.
  • Velocidade superficial u_0=Q/A:
u_0=\frac{2{,}1818\times10^{-4}}{0{,}0314159}\approx 0{,}006945\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
Explicação simples: u_0 é a velocidade média que o fluido “veria” se a área estivesse completamente aberta (não desconta poros).

Passo 4

Verificar o número de Reynolds particulado (ordem de grandeza) para entender o regime:
  • Definição: o número de Reynolds em leitos costuma ser tomado como \mathrm{Re}_p=\dfrac{\rho\,u_0\,d_p}{\mu}.
  • Calculo:
\mathrm{Re}_p=\frac{1100\cdot 0{,}006945\cdot 0{,}0014}{2\times10^{-3}} =\frac{0{,}0106953}{0{,}002}=5{,}3476\approx 5{,}35.
Interpretação: \mathrm{Re}_p é pequeno (ordem de 1–10), portanto o termo viscoso da Ergun tende a dominar, mas o termo inercial ainda pode contribuir; por isso a forma completa da Ergun é adequada.

Passo 5

Preparar a Ergun com correção pela esfericidade e calcular parâmetros intermediários:
  • Define-se d_{eq}=d_p\,\psi:
d_{eq}=0{,}0014\cdot 0{,}92=0{,}001288\\ \mathrm{m}.
  • Alguns termos numéricos que aparecerão:
    • 1-\epsilon=0{,}7,
    • (1-\epsilon)^2=0{,}49,
    • \epsilon^3=(0{,}3)^3=0{,}027,
    • d_{eq}^2=(0{,}001288)^2\approx 1{,}659\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 6

Calcular o primeiro termo (viscoso) da Ergun detalhadamente:
  • Expressão do termo viscous (por metro):
\text{Termo}_1=\frac{150\,\mu\,(1-\epsilon)^2}{\epsilon^3\,d_{eq}^2}\;u_0.
  • Substituindo valores numéricos passo a passo:
    • 150\,\mu\,(1-\epsilon)^2 = 150\cdot 2\times10^{-3}\cdot 0{,}49 = 0{,}147.
    • \epsilon^3\,d_{eq}^2 = 0{,}027\cdot 1{,}659\times10^{-6}=4{,}4793\times10^{-8}.
    • Razão = 0{,}147 / 4{,}4793\times10^{-8} \approx 3{,}279\times10^{6}\\ \mathrm{(Pa\,s)/m^2}.
    • Multiplicando por u_0: \text{Termo}_1 \approx 3{,}279\times10^{6}\cdot 0{,}006945 \approx 22768\\ \mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{-1}.

Passo 7

Calcular o segundo termo (inercial) da Ergun detalhadamente:
  • Expressão do termo inercial (por metro):
\text{Termo}_2=\frac{1{,}75\,\rho\,(1-\epsilon)}{\epsilon^3\,d_{eq}}\;u_0^2.
  • Substituindo valores:
    • 1{,}75\,\rho\,(1-\epsilon)=1{,}75\cdot 1100\cdot 0{,}7=1347{,}5.
    • \epsilon^3\,d_{eq}=0{,}027\cdot 0{,}001288=3{,}4776\times10^{-5}.
    • Razão = 1347{,}5 / 3{,}4776\times10^{-5}\approx 3{,}8758\times10^{7}\\ \mathrm{(Pa\cdot s^2)/m^3}.
    • u_0^2=(0{,}006945)^2\approx 4{,}823\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{s}^{-2}.
    • Multiplicando: \text{Termo}_2 \approx 3{,}8758\times10^{7}\cdot 4{,}823\times10^{-5}\approx 1869\\ \mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{-1}.

Passo 8

Calcular perda de pressão por unidade de comprimento, perda total e verificar contribuição relativa:
  • Somando os termos:
\frac{\Delta p}{L}=\text{Termo}_1+\text{Termo}_2\approx 22768 + 1869 = 24637\\ \mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{-1}.
  • Perda de pressão total no leito de comprimento L=0{,}5\\ \mathrm{m}:
\Delta p = \frac{\Delta p}{L}\,L = 24637\cdot 0{,}5 \approx 12318{,}5\\ \mathrm{Pa}.
  • Observação útil (didática): o termo viscoso domina (≈92% da perda), coerente com \mathrm{Re}_p baixo.

Passo 9

Converter perda de pressão em altura de líquido:
  • A coluna de líquido h necessária obedece \Delta p = \rho g h, logo
h=\frac{\Delta p}{\rho g}.
  • Tomando g=9{,}81\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2},
h=\frac{12318{,}5}{1100\cdot 9{,}81}=\frac{12318{,}5}{10791}\approx 1{,}141\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando para duas casas decimais (consistente com dados): h\approx 1{,}14\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Resumo rápido e comentário final (motivacional curto): calculamos passo a passo usando a equação de Ergun com correção por esfericidade; o resultado significa que cerca de 1{,}14\\ \mathrm{m} de coluna líquida acima do leito é necessária para manter a vazão dada só por gravidade — nada mal, você foi firme até aqui, tá indo bem!

Resposta

h\approx 1{,}14\\ \mathrm{m}

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