Questão 3 (
Pontos): Uma solução com densidade
e viscosidade
Pa.s está escoando por gravidade a uma taxa de
através de um leito de partículas com
de diâmetro médio e esfericidade de 0,92 . O leito tem diâmetro igual
e comprimento igual a
, e a porosidade pode ser assumida como 0,3 . Calcule a altura de líquido acima do topo do leito.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não vou resolver nada ainda, só organizar os dados).
- Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- densidade da solução:
, - viscosidade:
, - vazão mássica:
, - diâmetro médio das partículas:
, - esfericidade:
, - diâmetro do leito:
, - comprimento do leito (altura preenchida por partículas):
, - porosidade:
.
- densidade da solução:
- O que a questão pede:
- Calcular a altura de líquido acima do topo do leito, ou seja, a coluna de líquido
necessária para vencer a perda de carga através do leito por gravidade.
- Calcular a altura de líquido acima do topo do leito, ou seja, a coluna de líquido
Passo 2
Estratégia e conceitos usados (explicando didaticamente):
- Para que o líquido flua por gravidade através do leito, a diferença de pressão entre superfície livre e fundo do leito deve ser igual à perda de carga gerada pelo escoamento no leito. A coluna de líquido
produz uma pressão . - Assim, basta calcular a perda de pressão total
através do leito (devida ao escoamento) e obter . - Para calcular a perda de carga em um leito de partículas usamos a equação de Ergun, que combina termos viscoso (laminar) e inercial (turbulento/transitório). A forma usual é:
onde
é a velocidade superficial (velocidade média baseada na área livre de fluxo), e
é o diâmetro característico das partículas.
- Para partículas não perfeitamente esféricas devemos corrigir o termo através da esfericidade: a área específica efetiva implica usar o diâmetro equivalente
(isso aumenta a resistência quando ). Vou usar na Ergun. - Antes de aplicar, calculo a vazão volumétrica, a área do leito e a velocidade superficial
.
Passo 3
Calcular vazão volumétrica e velocidade superficial:
- Vazão volumétrica
obtida de :
- Área da seção do leito
. Como ,
- Velocidade superficial
:
Explicação simples:
é a velocidade média que o fluido “veria” se a área estivesse completamente aberta (não desconta poros).
Passo 4
Verificar o número de Reynolds particulado (ordem de grandeza) para entender o regime:
- Definição: o número de Reynolds em leitos costuma ser tomado como
. - Calculo:
Interpretação:
é pequeno (ordem de 1–10), portanto o termo viscoso da Ergun tende a dominar, mas o termo inercial ainda pode contribuir; por isso a forma completa da Ergun é adequada.
Passo 5
Preparar a Ergun com correção pela esfericidade e calcular parâmetros intermediários:
- Define-se
:
- Alguns termos numéricos que aparecerão:
-
, -
, -
, -
.
-
Passo 6
Calcular o primeiro termo (viscoso) da Ergun detalhadamente:
- Expressão do termo viscous (por metro):
- Substituindo valores numéricos passo a passo:
-
. -
. - Razão =
. - Multiplicando por
:
-
Passo 7
Calcular o segundo termo (inercial) da Ergun detalhadamente:
- Expressão do termo inercial (por metro):
- Substituindo valores:
-
-
- Razão =
. -
- Multiplicando:
-
Passo 8
Calcular perda de pressão por unidade de comprimento, perda total e verificar contribuição relativa:
- Somando os termos:
- Perda de pressão total no leito de comprimento
:
- Observação útil (didática): o termo viscoso domina (≈92% da perda), coerente com
baixo.
Passo 9
Converter perda de pressão em altura de líquido:
- A coluna de líquido
necessária obedece , logo
- Tomando
,
- Arredondando para duas casas decimais (consistente com dados):
Passo 10
Resumo rápido e comentário final (motivacional curto): calculamos passo a passo usando a equação de Ergun com correção por esfericidade; o resultado significa que cerca de
de coluna líquida acima do leito é necessária para manter a vazão dada só por gravidade — nada mal, você foi firme até aqui, tá indo bem!