Questão 2. (1,0 pt) Para o escoamento de um gás em um tubo, qual forma da equação da conservação da massa pode ser utilizada? (a) \mathrm{V}_{1} \mathrm{~A}_{1}=\mathrm{V}_{2} \mathrm{~A}_{2}; (b) \rho_{1} \mathrm{~V}_{1} \mathrm{~A}_{1}=\rho_{2} \mathrm{~V}_{2} \mathrm{~A}_{2}; (c) ambas são igualmente aplicáveis. Explique mostrando as equações.

Passo 1

O enunciado pergunta qual forma da equação da conservação da massa pode ser utilizada para o escoamento de um gás em um tubo, oferecendo três alternativas:
  • (a) V_{1} A_{1}=V_{2} A_{2};
  • (b) \rho_{1} V_{1} A_{1}=\rho_{2} V_{2} A_{2};
  • (c) ambas são igualmente aplicáveis.
Informações implícitas no enunciado:
  • Existem duas seções do tubo, indicadas pelos subscritos 1 e 2.
  • A é a área da seção transversal do tubo em cada ponto.
  • V é a velocidade média do fluido ao longo da seção (assume-se escoamento essencialmente unidimensional na seção).
  • \rho é a densidade do fluido (do gás) em cada seção.
  • A pergunta pede justificar mostrando as equações (ou seja, derivar/explicar as formas e quando cada uma vale).

Passo 2

Princípio físico usado (forma geral, sem resolver ainda): conservação de massa em um volume de controle. A forma integral geral da conservação de massa é
\frac{d}{dt}\!\int_{CV}\rho\,dV+\oint_{CS}\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dA=0.
Explicação dos termos:
  • \int_{CV}\rho\,dV é a massa total dentro do volume de controle (CV).
  • \dfrac{d}{dt} é a derivada temporal dessa massa (variação no tempo).
  • \oint_{CS}\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dA é o fluxo de massa através da superfície de controle (CS): \mathbf{v} é o vetor velocidade do fluido, \mathbf{n} é o vetor normal externo à superfície, e \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} é a taxa de massa por área que sai/entra.
Para o caso de um tubo com escoamento unidimensional entre duas seções e assumindo regime estacionário (escoamento permanente, sem acumulação de massa dentro do volume de controle), a primeira parcela (taxa de variação da massa no CV) é zero, ficando
\oint_{CS}\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dA=0.
Se a superfície de controle só tem contribuições significativas nas duas seções 1 e 2 (entrada e saída) com velocidades normais às seções, a integral reduz-se à igualdade entre as taxas de massa nas duas seções:
\dot{m}_1=\dot{m}_2,
onde a taxa de massa (vazão mássica) em uma seção é definida por
\dot{m}=\rho\,V\,A.
Aqui:
  • \dot{m} é a vazão mássica (kg/s),
  • \rho é a densidade local (kg/m ^3),
  • V é a velocidade média normal à seção (m/s),
  • A é a área da seção transversal (m ^2).
Portanto, a forma geral aplicável ao escoamento entre as duas seções é
\boxed{\rho_{1} V_{1} A_{1}=\rho_{2} V_{2} A_{2}}.

Passo 3

Derivação da forma especial quando a densidade é constante: se o fluido é incompressível ou a densidade não muda entre as seções (isto é, \rho_{1}=\rho_{2}=\rho constante), a relação anterior simplifica dividindo ambos os lados por \rho:
\rho V_{1} A_{1}=\rho V_{2} A_{2} \quad\Longrightarrow\quad V_{1} A_{1}=V_{2} A_{2}.
Então a equação \,V_{1} A_{1}=V_{2} A_{2}\, é um caso particular da igualdade de vazões mássicas quando a densidade é constante.
Observação importante sobre gases: a densidade de um gás geralmente depende de pressão e temperatura; portanto, para escoamento de gás em que ocorram variações de pressão/temperatura (ou compressibilidade significativa), não se pode assumir \rho= constante. Nessas situações a equação (a) pode falhar, enquanto a equação (b) continua válida.

Passo 4

Exemplo numérico rápido (para ver a diferença na prática):
Escolha números fáceis:
  • A_1=0,02\\ \mathrm{m}^2, V_1=3{,}0\\ \mathrm{m/s}, \rho_1=1{,}0\\ \mathrm{kg/m^3}.
    A vazão mássica é
\dot{m}=\rho_1 V_1 A_1 = 1{,}0\cdot 3{,}0\cdot 0{,}02 = 0{,}06\\ \mathrm{kg/s}.
Se a área na seção 2 for A_2=0{,}01\\ \mathrm{m}^2:
  • Caso incompressível com \rho_2=1{,}0: V_2=\dfrac{\dot{m}}{\rho_2 A_2}=\dfrac{0{,}06}{1{,}0\cdot0{,}01}=6{,}0\\ \mathrm{m/s}. (Aqui V_1A_1=V_2A_2 vale.)
  • Caso compressível com \rho_2=0{,}90: V_2=\dfrac{0{,}06}{0{,}90\cdot0{,}01}=6{,}666\ldots\\ \mathrm{m/s}. (Aqui a velocidade difere — a fórmula (b) prevê corretamente, a fórmula (a) daria um valor errado se usada sem checar \rho.)
Esse exemplo mostra que, para gases, variações de densidade mudam o resultado e portanto é necessário usar a forma com \rho.

Passo 5

Conclusão lógica sobre as alternativas:
  • A alternativa (b) \rho_{1} V_{1} A_{1}=\rho_{2} V_{2} A_{2} é a forma geral correta da conservação de massa para escoamento através de um tubo (vazão mássica constante em regime estacionário).
  • A alternativa (a) V_{1} A_{1}=V_{2} A_{2} é válida somente no caso especial em que a densidade é constante ( \rho não varia), ou seja, para fluido incompressível ou situações em que as mudanças de densidade são desprezíveis.
  • A alternativa (c) “ambas são igualmente aplicáveis” é incorreta porque (a) não é sempre aplicável: depende da hipótese adicional de densidade constante.

Resposta

(b)

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