Questão 2. (1,0 pt) Para o escoamento de um gás em um tubo, qual forma da equação da conservação da massa pode ser utilizada? (a)
; (b)
; (c) ambas são igualmente aplicáveis. Explique mostrando as equações.
Passo 1
O enunciado pergunta qual forma da equação da conservação da massa pode ser utilizada para o escoamento de um gás em um tubo, oferecendo três alternativas:
- (a)
; - (b)
; - (c) ambas são igualmente aplicáveis.
Informações implícitas no enunciado:
- Existem duas seções do tubo, indicadas pelos subscritos
e . -
é a área da seção transversal do tubo em cada ponto. -
é a velocidade média do fluido ao longo da seção (assume-se escoamento essencialmente unidimensional na seção). -
é a densidade do fluido (do gás) em cada seção. - A pergunta pede justificar mostrando as equações (ou seja, derivar/explicar as formas e quando cada uma vale).
Passo 2
Princípio físico usado (forma geral, sem resolver ainda): conservação de massa em um volume de controle. A forma integral geral da conservação de massa é
Explicação dos termos:
-
é a massa total dentro do volume de controle (CV). -
é a derivada temporal dessa massa (variação no tempo). -
é o fluxo de massa através da superfície de controle (CS): é o vetor velocidade do fluido, é o vetor normal externo à superfície, e é a taxa de massa por área que sai/entra.
Para o caso de um tubo com escoamento unidimensional entre duas seções e assumindo regime estacionário (escoamento permanente, sem acumulação de massa dentro do volume de controle), a primeira parcela (taxa de variação da massa no CV) é zero, ficando
Se a superfície de controle só tem contribuições significativas nas duas seções
e
(entrada e saída) com velocidades normais às seções, a integral reduz-se à igualdade entre as taxas de massa nas duas seções:
onde a taxa de massa (vazão mássica) em uma seção é definida por
Aqui:
-
é a vazão mássica (kg/s), -
é a densidade local (kg/m ), -
é a velocidade média normal à seção (m/s), -
é a área da seção transversal (m ).
Portanto, a forma geral aplicável ao escoamento entre as duas seções é
Passo 3
Derivação da forma especial quando a densidade é constante: se o fluido é incompressível ou a densidade não muda entre as seções (isto é,
constante), a relação anterior simplifica dividindo ambos os lados por
:
Então a equação
é um caso particular da igualdade de vazões mássicas quando a densidade é constante.
Observação importante sobre gases: a densidade de um gás geralmente depende de pressão e temperatura; portanto, para escoamento de gás em que ocorram variações de pressão/temperatura (ou compressibilidade significativa), não se pode assumir
constante. Nessas situações a equação (a) pode falhar, enquanto a equação (b) continua válida.
Passo 4
Exemplo numérico rápido (para ver a diferença na prática):
Escolha números fáceis:
Escolha números fáceis:
-
, , .
A vazão mássica é
Se a área na seção 2 for
:
- Caso incompressível com
: . (Aqui vale.) - Caso compressível com
: . (Aqui a velocidade difere — a fórmula (b) prevê corretamente, a fórmula (a) daria um valor errado se usada sem checar .)
Esse exemplo mostra que, para gases, variações de densidade mudam o resultado e portanto é necessário usar a forma com
.
Passo 5
Conclusão lógica sobre as alternativas:
- A alternativa (b)
é a forma geral correta da conservação de massa para escoamento através de um tubo (vazão mássica constante em regime estacionário). - A alternativa (a)
é válida somente no caso especial em que a densidade é constante ( não varia), ou seja, para fluido incompressível ou situações em que as mudanças de densidade são desprezíveis. - A alternativa (c) “ambas são igualmente aplicáveis” é incorreta porque (a) não é sempre aplicável: depende da hipótese adicional de densidade constante.
Resposta
(b)