Leite condensado é esterilizado em uma lata com 7,5 cm de diâmetro e 9,5 cm de altura. Calcule o tempo necessário para aquecer o leite de
para
, considerando que:
a) a lata está em movimento durante o aquecimento, de modo que a temperatura do leite permanece uniforme em todo o seu interior;
b) a lata contém
de leite;
c) o coeficiente global de transferência de calor entre o meio de aquecimento e o leite é
(considere equivalente ao h);
d) a temperatura do meio de aquecimento é
;
e) o calor específico médio do leite, ao longo da faixa de temperatura do aquecimento, é
.
a) a lata está em movimento durante o aquecimento, de modo que a temperatura do leite permanece uniforme em todo o seu interior;
b) a lata contém
c) o coeficiente global de transferência de calor entre o meio de aquecimento e o leite é
d) a temperatura do meio de aquecimento é
e) o calor específico médio do leite, ao longo da faixa de temperatura do aquecimento, é
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
-
Dados (peguei todos estes números do enunciado):
- diâmetro da lata:
. - raio da lata:
. - altura da lata:
. - massa do leite:
. - coeficiente global de transferência de calor (equivalente a
): . - temperatura do meio de aquecimento:
. - temperatura inicial do leite:
. - temperatura final desejada:
. - calor específico médio do leite:
.
- diâmetro da lata:
-
O que pedir: calcular o tempo necessário
para o leite aquecer de até , sob as condições indicadas (temperatura uniforme no interior da lata durante o aquecimento).
Observação importante do enunciado que afeta o método: a lata está em movimento e a temperatura do leite permanece uniforme no interior — isto permite usar o modelo de “corpo de baixa inércia térmica” (modelo de capacidade concentrada ou lumped), que trata o leite como um corpo com temperatura uniforme ao longo do tempo.
Passo 2
Princípio físico e equação do modelo lumped (balanço de energia):
-
Raciocínio físico: quando a temperatura é uniforme no interior do leite, toda a variação de energia térmica do leite vem do fluxo de calor através da superfície da lata. A taxa de aumento de energia interna do leite é igual ao fluxo de calor convectivo recebido pela superfície.
-
Equação diferencial (básica):
onde
-
é a massa do leite (kg), -
é o calor específico (J/kg{}^{\circ}C), -
é a temperatura do leite no tempo ({}^{\circ}C), -
é o coeficiente global de transferência (W/m{2}{}{\circ}C), -
é a área de troca térmica (m^{2}), -
é a temperatura do meio aquecedor ({}^{\circ}C). -
Esta é uma EDO linear de primeira ordem. Separando e integrando, obtém-se a solução:
- Isolando o tempo necessário para atingir
:
Esta fórmula será usada diretamente. Explico cada termo novamente:
-
é a diferença entre o banho quente e a temperatura alvo; -
é a diferença inicial; a razão dentro do ln é adimensional; - o fator
tem dimensão de tempo e é a constante de tempo térmica do sistema (quanto maior, mais lento o aquecimento).
Passo 3
Cálculo da área de troca
da lata (usei as dimensões da lata dadas no enunciado):
-
Converter dimensões para metros:
-
. -
.
-
-
Considerando área total externa da lata (parte lateral + duas tampas circulares):
- Substituindo valores:
- Cálculo numérico passo a passo:
-
-
- Primeiro produto:
- Multiplicando por
:
-
Portanto:
Passo 4
Converter massa para kg e calcular
(capacidade térmica do leite):
- Massa dada:
- Calor específico:
- Capacidade térmica:
- Cálculo:
(Isto significa que para aumentar a temperatura do leite em
são necessários aproximadamente
— valor pequeno porque a massa é muito pequena.)
Passo 5
Calcular
e a constante
:
-
- A taxa adimensional (recíproco do tempo característico):
Passo 6
Aplicar a fórmula do passo 2 para calcular
:
- Diferenças de temperatura:
-
- Razão dentro do ln:
- Logaritmo natural:
- Aplicando a fórmula:
- Substituindo
:
Passo 7
Interpretação rápida e verificação de consistência:
- O resultado é
— um quarto de segundo. É muito curto porque a massa informada ( ) é extremamente pequena; com tão pouca massa e uma área razoável e alto, o aquecimento é muito rápido. Se a intenção do enunciado fosse uma lata normal de leite condensado, é possível que a massa correta fosse (isto alteraria o tempo em três ordens de grandeza). Mas seguindo estritamente os dados fornecidos, o tempo calculado é o acima.