Leite condensado é esterilizado em uma lata com 7,5 cm de diâmetro e 9,5 cm de altura. Calcule o tempo necessário para aquecer o leite de \mathbf{4 5}^{\circ} \mathrm{C} para \mathbf{1 1 5}^{\circ} \mathrm{C}, considerando que:
a) a lata está em movimento durante o aquecimento, de modo que a temperatura do leite permanece uniforme em todo o seu interior;
b) a lata contém 0,37 \mathbf{g} de leite;
c) o coeficiente global de transferência de calor entre o meio de aquecimento e o leite é 300 \mathrm{~W} / \mathbf{m}^{2}{ }^{\circ} \mathbf{C} (considere equivalente ao h);
d) a temperatura do meio de aquecimento é \mathbf{1 3 0}^{\circ} \mathbf{C};
e) o calor específico médio do leite, ao longo da faixa de temperatura do aquecimento, é \mathbf{3 6 5 0 ~ J} \boldsymbol{/} \mathbf{k g}{ }^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados (peguei todos estes números do enunciado):
    • diâmetro da lata: d=7{,}5\\ \text{cm}.
    • raio da lata: r=\dfrac{d}{2}=3{,}75\\ \text{cm}.
    • altura da lata: h=9{,}5\\ \text{cm}.
    • massa do leite: m=0{,}37\\ \text{g}.
    • coeficiente global de transferência de calor (equivalente a h): h=300\\ \mathrm{W}\!/\mathrm{m}^{2}{}^{\circ}\mathrm{C}.
    • temperatura do meio de aquecimento: T_{\infty}=130^{\circ}\mathrm{C}.
    • temperatura inicial do leite: T_{0}=45^{\circ}\mathrm{C}.
    • temperatura final desejada: T_{f}=115^{\circ}\mathrm{C}.
    • calor específico médio do leite: c=3650\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}{}^{\circ}\mathrm{C}.
  • O que pedir: calcular o tempo necessário t para o leite aquecer de T_{0} até T_{f}, sob as condições indicadas (temperatura uniforme no interior da lata durante o aquecimento).
Observação importante do enunciado que afeta o método: a lata está em movimento e a temperatura do leite permanece uniforme no interior — isto permite usar o modelo de “corpo de baixa inércia térmica” (modelo de capacidade concentrada ou lumped), que trata o leite como um corpo com temperatura uniforme ao longo do tempo.

Passo 2

Princípio físico e equação do modelo lumped (balanço de energia):
  • Raciocínio físico: quando a temperatura é uniforme no interior do leite, toda a variação de energia térmica do leite vem do fluxo de calor através da superfície da lata. A taxa de aumento de energia interna do leite é igual ao fluxo de calor convectivo recebido pela superfície.
  • Equação diferencial (básica):
m\,c\,\frac{dT}{dt}=h\,A\bigl(T_{\infty}-T(t)\bigr),
onde
  • m é a massa do leite (kg),
  • c é o calor específico (J/kg{}^{\circ}C),
  • T(t) é a temperatura do leite no tempo t ({}^{\circ}C),
  • h é o coeficiente global de transferência (W/m{2}{}{\circ}C),
  • A é a área de troca térmica (m^{2}),
  • T_{\infty} é a temperatura do meio aquecedor ({}^{\circ}C).
  • Esta é uma EDO linear de primeira ordem. Separando e integrando, obtém-se a solução:
T_{\infty}-T(t)=\bigl(T_{\infty}-T_{0}\bigr)\exp\!\left(-\frac{hA}{m c}\,t\right).
  • Isolando o tempo necessário para atingir T_{f}:
t=-\frac{m c}{h A}\,\ln\!\left(\frac{T_{\infty}-T_{f}}{T_{\infty}-T_{0}}\right).
Esta fórmula será usada diretamente. Explico cada termo novamente:
  • T_{\infty}-T_{f} é a diferença entre o banho quente e a temperatura alvo;
  • T_{\infty}-T_{0} é a diferença inicial; a razão dentro do ln é adimensional;
  • o fator \dfrac{m c}{h A} tem dimensão de tempo e é a constante de tempo térmica do sistema (quanto maior, mais lento o aquecimento).

Passo 3

Cálculo da área de troca A da lata (usei as dimensões da lata dadas no enunciado):
  • Converter dimensões para metros:
    • r=3{,}75\\ \text{cm}=0{,}0375\\ \text{m}.
    • h=9{,}5\\ \text{cm}=0{,}095\\ \text{m}.
  • Considerando área total externa da lata (parte lateral + duas tampas circulares):
A = 2\pi r h + 2\pi r^{2} = 2\pi r(h+r).
  • Substituindo valores:
A = 2\pi (0{,}0375)\bigl(0{,}095+0{,}0375\bigr)\\ \text{m}^{2}.
  • Cálculo numérico passo a passo:
    • h+r = 0{,}095+0{,}0375=0{,}1325\\ \text{m}.
    • 2\pi r(h+r)=2\pi\times0{,}0375\times0{,}1325.
    • Primeiro produto: 0{,}0375\times0{,}1325=0{,}00496875.
    • Multiplicando por 2\pi: A\approx 2\pi\times0{,}00496875\approx 0{,}03122\\ \text{m}^{2}.
Portanto:
A\approx0{,}03122\\ \text{m}^{2}.

Passo 4

Converter massa para kg e calcular m c (capacidade térmica do leite):
  • Massa dada: m=0{,}37\\ \text{g}=0{,}37\times10^{-3}\\ \text{kg}=0{,}00037\\ \text{kg}.
  • Calor específico: c=3650\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}{}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Capacidade térmica:
m c = 0{,}00037\times3650 \\ \mathrm{J}/{}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Cálculo:
m c \approx 1{,}3505\\ \mathrm{J}/{}^{\circ}\mathrm{C}.
(Isto significa que para aumentar a temperatura do leite em 1{}^{\circ}\mathrm{C} são necessários aproximadamente 1{,}35\\ \mathrm{J} — valor pequeno porque a massa é muito pequena.)

Passo 5

Calcular hA e a constante \dfrac{hA}{m c}:
  • hA = 300\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}{}^{\circ}\mathrm{C}\times0{,}03122\\ \mathrm{m}^{2} \approx 9{,}366\\ \mathrm{W}/{}^{\circ}\mathrm{C}.
  • A taxa adimensional (recíproco do tempo característico):
\frac{hA}{m c}\approx\frac{9{,}366}{1{,}3505}\\ \text{s}^{-1}\approx6{,}9345\\ \text{s}^{-1}.

Passo 6

Aplicar a fórmula do passo 2 para calcular t:
  • Diferenças de temperatura:
    • T_{\infty}-T_{f}=130-115=15\\ {}^{\circ}\mathrm{C}.
    • T_{\infty}-T_{0}=130-45=85\\ {}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Razão dentro do ln:
\frac{T_{\infty}-T_{f}}{T_{\infty}-T_{0}}=\frac{15}{85}\approx0{,}1764706.
  • Logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{15}{85}\right)\approx\ln(0{,}1764706)\approx-1{,}7346.
  • Aplicando a fórmula:
t=-\frac{m c}{h A}\ln\!\left(\frac{T_{\infty}-T_{f}}{T_{\infty}-T_{0}}\right) =\frac{1}{\tfrac{hA}{m c}}\times1{,}7346.
  • Substituindo \dfrac{hA}{m c}\approx6{,}9345\\ \text{s}^{-1}:
t\approx\frac{1{,}7346}{6{,}9345}\\ \text{s}\approx0{,}250\\ \text{s}.

Passo 7

Interpretação rápida e verificação de consistência:
  • O resultado é t\approx0{,}25\\ \text{s} — um quarto de segundo. É muito curto porque a massa informada ( 0{,}37\\ \text{g}) é extremamente pequena; com tão pouca massa e uma área razoável e h alto, o aquecimento é muito rápido. Se a intenção do enunciado fosse uma lata normal de leite condensado, é possível que a massa correta fosse 0{,}37\\ \text{kg} (isto alteraria o tempo em três ordens de grandeza). Mas seguindo estritamente os dados fornecidos, o tempo calculado é o acima.

Resposta

t\approx0{,}25\\ \text{s}

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