O rebocador pesa
toneladas ) e está deslocando-se para diante a uma velocidade de
, quando atinge o poste de 300 mm de diâmetro
usado para proteger a ponte do atracadouro. Se o poste for feito de espruce branco tratado e considerarmos que está preso ao leito do rio, determine a distância horizontal máxima à qual se deslocará o topo do poste como resultado do impacto. Considere que o rebocador é rígido e despreze o efeito da água.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um rebocador que pesa 600 kN e está se movendo a uma velocidade de 0,6 m/s. Ele bate em um poste de 300 mm de diâmetro que está fixado no leito do rio para proteger a ponte. Queremos descobrir qual será a distância horizontal máxima que o topo desse poste vai se deslocar por causa desse impacto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados a colisões e ao comportamento de estruturas fixas quando submetidas a forças.
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar o peso do rebocador em massa para facilitar os cálculos. Sabemos que o peso
é relacionado à massa
pela relação
, onde
é a aceleração da gravidade (
).
Então, a massa
do rebocador é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia
do poste, que é importante para entender como ele vai reagir à força aplicada. Para um cilindro sólido, o momento de inércia em relação ao eixo de rotação (no caso, a base do poste) é dado por:
onde
é o diâmetro do poste.
Substituindo
:
Passo 4
Em seguida, precisamos considerar a força de impacto que o rebocador exerce sobre o poste. A força
durante a colisão pode ser estimada usando a mudança de quantidade de movimento. A quantidade de movimento inicial do rebocador é:
Assumindo que toda essa quantidade de movimento é transferida ao poste instantaneamente, a força média
pode ser estimada como
, onde
é o tempo da colisão. Como não temos
, vamos reconhecer que a força de impacto causará um torque no poste que resultará em seu deslocamento.
Passo 5
Vamos calcular o torque
exercido no poste. O torque é dado por:
onde
é o raio do poste (
).
Sem o valor exato de
, vamos utilizar a energia cinética do rebocador para relacionar com a energia armazenada na flexão do poste. A energia cinética inicial
do rebocador é:
Passo 6
A energia armazenada na flexão do poste quando ele se desloca uma distância horizontal máxima
é dada por:
onde
é a rigidez do poste. Para uma viga fixa em uma extremidade, a rigidez
pode ser aproximada por:
onde
é o módulo de elasticidade do material (espruce branco tratado) e
é a altura do poste. Como não temos
nem
, vamos assumir que queremos encontrar uma relação geral.
Igualando as energias:
Passo 7
Substituindo
na equação:
Sem os valores de
e
, não podemos calcular numericamente
. Portanto, para determinar a distância horizontal máxima, precisaríamos desses dados adicionais sobre o poste.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a distância horizontal máxima sem conhecer o módulo de elasticidade
e a altura
do poste. Com esses valores, a distância poderia ser calculada usando a fórmula: