Uma estrutura formada por duas tábuas de madeira pinus (ABC e DBE) sobrepostas (ponto B), com 500 mm de largura, é colocada sobre um buraco quadrado de
. A estrutura deve suportar o esforço de uma pessoa de 100 kg caminhando sobre a tábua
. Para tal, considere que o carregamento associado ao andar da pessoa é equivalente ao esforço produzido pela mesma pessoa caindo sobre a estrutura de uma altura de 100 mm . Determine a espessura mínima das tábuas (de mesma espessura), de modo que não corra falha por ruptura da madeira e por deslocamento máximo superior a 10 mm .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre estruturas de madeira que precisa determinar a espessura mínima das tábuas para que não ocorra falha por ruptura e que o deslocamento máximo não ultrapasse 10 mm. A gente vai usar conceitos de mecânica estrutural, especificamente sobre resistência dos materiais e deflexão de vigas. Vamos precisar entender como calcular a força que a pessoa exerce na tábua e como essa força afeta a estrutura em termos de tensão e deformação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o esforço que a pessoa de 100 kg exerce na tábua. O enunciado diz que o carregamento é equivalente ao esforço produzido pela pessoa caindo de uma altura de 100 mm. Para isso, usamos a energia potencial gravitacional convertida em força.
A energia potencial (E) é dada por:
onde:
-
(massa da pessoa) -
(aceleração da gravidade) -
(altura da queda)
Então:
Essa energia é convertida em força aplicada na tábua. Considerando que a energia é absorvida durante a parada, a força média (
) pode ser estimada pela relação:
Assumindo que a deformação ocorre na distância
equivalente à espessura da tábua (
), rearranjamos para encontrar
:
Passo 3
Agora, precisamos analisar a tensão na tábua para evitar a ruptura. A tensão (
) é dada por:
onde:
-
é o momento fletor -
é a distância do eixo neutro até a fibra mais distante (metade da espessura, ) -
é o momento de inércia da seção transversal
Para uma tábua retangular:
com:
-
(largura da tábua)
O momento fletor (
) para uma carga central
em uma viga simplesmente apoiada de comprimento
é:
Assumindo que a distância
é a largura do buraco, 5 m.
Substituindo
da etapa anterior:
Agora, substituindo
e
na equação da tensão:
Para evitar a ruptura, essa tensão deve ser menor ou igual à resistência à tração da madeira de pinus, que tipicamente é cerca de 40 MPa (
).
Então:
Passo 4
Agora, vamos verificar o deslocamento máximo para garantir que não exceda 10 mm. A deflexão máxima (
) para uma carga central em uma viga simplesmente apoiada é dada por:
onde:
-
é o módulo de elasticidade da madeira de pinus, por volta de -
já foi calculado como
Substituindo
da etapa 2:
Queremos que
(10 mm), então:
Resposta
A espessura mínima das tábuas deve ser de 175 mm para garantir que não ocorra falha por ruptura e que o deslocamento máximo não ultrapasse 10 mm.