Uma estrutura formada por duas tábuas de madeira pinus (ABC e DBE) sobrepostas (ponto B), com 500 mm de largura, é colocada sobre um buraco quadrado de 5 m times 5 m. A estrutura deve suportar o esforço de uma pessoa de 100 kg caminhando sobre a tábua A B C. Para tal, considere que o carregamento associado ao andar da pessoa é equivalente ao esforço produzido pela mesma pessoa caindo sobre a estrutura de uma altura de 100 mm . Determine a espessura mínima das tábuas (de mesma espessura), de modo que não corra falha por ruptura da madeira e por deslocamento máximo superior a 10 mm .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre estruturas de madeira que precisa determinar a espessura mínima das tábuas para que não ocorra falha por ruptura e que o deslocamento máximo não ultrapasse 10 mm. A gente vai usar conceitos de mecânica estrutural, especificamente sobre resistência dos materiais e deflexão de vigas. Vamos precisar entender como calcular a força que a pessoa exerce na tábua e como essa força afeta a estrutura em termos de tensão e deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o esforço que a pessoa de 100 kg exerce na tábua. O enunciado diz que o carregamento é equivalente ao esforço produzido pela pessoa caindo de uma altura de 100 mm. Para isso, usamos a energia potencial gravitacional convertida em força.
A energia potencial (E) é dada por:
E = m cdot g cdot h
onde:
  • E = 100 times 9,81 times 0,1 = 98,1 , J (massa da pessoa)
  • E = F cdot d2 ² (aceleração da gravidade)
  • F = 2Ed = 2 times 98,1t (altura da queda)
Então:
Essa energia é convertida em força aplicada na tábua. Considerando que a energia é absorvida durante a parada, a força média ( ) pode ser estimada pela relação:
Assumindo que a deformação ocorre na distância equivalente à espessura da tábua ( ), rearranjamos para encontrar :

Passo 3

Agora, precisamos analisar a tensão na tábua para evitar a ruptura. A tensão ( sigma = M cdot cI ) é dada por:
I = b cdot t^312
onde:
  • M = F cdot L4 é o momento fletor
  • M = 2 times 98,1 times 54t = 245,25t , Nm é a distância do eixo neutro até a fibra mais distante (metade da espessura, sigma = (245,25/t) cdot (t/2)(0,5 times t^3)/12 = 245,25 cdot 60,5 cdot t^3 = 1471,5t^3 , Pa )
  • 1471,5t^3 <= 40 times 10^6 é o momento de inércia da seção transversal
Para uma tábua retangular:
t^3 >= 1471,540 times 10^6
com:
  • t^3 >= 3,67875 times 10^-5 (largura da tábua)
O momento fletor ( t >= raiz[3]3,67875 times 10^-5 ) para uma carga central t >= 0,0335 , m em uma viga simplesmente apoiada de comprimento t >= 33,5 , mm é:
Assumindo que a distância é a largura do buraco, 5 m.
Substituindo da etapa anterior:
Agora, substituindo e na equação da tensão:
Para evitar a ruptura, essa tensão deve ser menor ou igual à resistência à tração da madeira de pinus, que tipicamente é cerca de 40 MPa ( ).
Então:

Passo 4

Agora, vamos verificar o deslocamento máximo para garantir que não exceda 10 mm. A deflexão máxima ( de) para uma carga central em uma viga simplesmente apoiada é dada por:
de
onde:
  • de é o módulo de elasticidade da madeira de pinus, por volta de de
  • de já foi calculado como de
Substituindo de da etapa 2:
de
de
1,22625 times 10^-4t^4 <= 0,01
t^4 >= 1,22625 times 10^-40,01
t^4 >= 0,0122625
t >= raiz[4]0,0122625
t >= 0,174 , m
t >= 174 , mm
Queremos que (10 mm), então:

Resposta

A espessura mínima das tábuas deve ser de 175 mm para garantir que não ocorra falha por ruptura e que o deslocamento máximo não ultrapasse 10 mm.

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