1. 5 Um retificador de onda completa com terminal central é alimentado por uma fonte de 120 V . Se a indutância da carga for muito maior do que sua resistência, determine a tensào média de saída para os seguintes ângulos de disparo:
    a) 45^{\circ}

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Um retificador de onda completa com terminal central (ou seja, dois tiristores/diodos, cada um alimentando uma meia-oscilação).
  • Fonte senoidal com tensão indicada de 120\\ \text{V}.
  • A indutância da carga é muito maior que a resistência (ou seja, L\gg R, corrente praticamente contínua).
  • Pede-se a tensão média de saída para o ângulo de disparo \alpha=45^\circ.
Observações sobre os dados (retiradas do enunciado):
  • Não há figura adicional. Vou assumir que os 120\\ \text{V} mencionados são o valor eficaz (RMS) da tensão ao longo de toda a secundária do transformador (tensão entre as extremidades), que é o caso mais comum. Assim, cada meia-enrolamento (cada metade do secundário, entre uma extremidade e o ponto central) tem tensão eficaz de 60\\ \text{V}.
    (Aviso: se o enunciado quisesse dizer 120\\ \text{V} em cada meia-enrolamento, o resultado numérico seria diferente; aqui uso a interpretação mais habitual.)

Passo 2

Entendendo o efeito da grande indutância e o comportamento do retificador:
  • Quando L\gg R, a corrente na carga varia muito lentamente e fica praticamente contínua (não se anula entre meias-oscilação). Isso significa que, após um tiristor ser disparado em \omega t=\alpha, ele conduz até que o outro tiristor seja disparado (isto é, cada tiristor conduz por um intervalo de 180^\circ quando a corrente é contínua).
  • O waveform da tensão aplicada ao load durante o intervalo em que um tiristor conduz é a tensão instantânea do respectivo meia-enrolamento, que é uma senóide de pico V_m (pico da meia-tensão).
  • A tensão média de saída V_{dc} para corrente contínua é a média temporal da tensão instantânea aplicada ao load num período T. Como a forma é periódica e simétrica, podemos escrever V_{dc} como média ao longo de 2\pi rad.

Passo 3

Deduzindo a fórmula da tensão média (integração):
  • Seja V_m o valor de pico da tensão de cada meia-enrolamento (ou seja, pico da meia-oscilação que cada tiristor aplica quando conduz).
  • Tomando \theta=\omega t, os intervalos de condução são \theta\in[\alpha,\pi] para o primeiro tiristor e \theta\in[\pi+\alpha,2\pi] para o segundo. Em cada intervalo a tensão aplicada ao load é a função senoidal correspondente (no segundo intervalo o seno é negativo mas a conexão faz com que a tensão no load seja positiva — em termos de integrais, o valor absoluto aparece).
  • A tensão média é:
V_{dc}=\frac{1}{2\pi}\left(\int_{\alpha}^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta + \int_{\pi+\alpha}^{2\pi} -V_m\sin\theta\,d\theta\right).
  • Calculando as integrais:
\int_{\alpha}^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta = V_m\big[-\cos\theta\big]_{\alpha}^{\pi}=V_m(1+\cos\alpha),
\int_{\pi+\alpha}^{2\pi} -V_m\sin\theta\,d\theta = V_m\big[1+\cos\alpha\big].
  • Somando e dividindo por 2\pi:
V_{dc}=\frac{1}{2\pi}\cdot 2V_m(1+\cos\alpha)=\frac{V_m}{\pi}\big(1+\cos\alpha\big).
  • Comentário didático: esta fórmula é específica para o retificador de onda completa com terminal central e corrente contínua. Ela difere da fórmula do retificador ponte totalmente controlado (onde surge \dfrac{2V_m}{\pi}\cos\alpha) porque, no caso do terminal central com apenas dois dispositivos, não se inverte o sinal do load — a média permanece não-negativa e aparece o termo 1+\cos\alpha.

Passo 4

Encontrar V_m a partir dos 120\\ \text{V} fornecidos:
  • Pela interpretação adotada em

Passo 5

  • O pico correspondente é
V_m = 60\sqrt{2}\\ \text{V}.

Passo 6

Aplicar \alpha=45^\circ e calcular numericamente:
  • Primeiro usar \cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Substituindo em \displaystyle V_{dc}=\frac{V_m}{\pi}(1+\cos\alpha):
V_{dc}=\frac{60\sqrt{2}}{\pi}\Big(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\Big).
  • Simplificando:
V_{dc}=\frac{60}{\pi}\big(\sqrt{2}+\!1\big)=\frac{60(1+\sqrt{2})}{\pi}\\ \text{V}.
  • Valor numérico aproximado:
V_{dc}\approx\frac{144{,}8528136}{3{,}14159265}\\ \text{V}\approx 46{,}13\\ \text{V}.

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido:
  • Fórmula usada (corrente contínua, terminal central): V_{dc}=\dfrac{V_m}{\pi}(1+\cos\alpha).
  • Com 120\\ \text{V} RMS no secundário total e \alpha=45^\circ obtém-se V_{dc}\approx 46{,}13\\ \text{V}.
  • Boa! Esse tipo de problema é muito comum: lembrar se é ponte ou terminal central e se a corrente é contínua resolve qual fórmula usar. Você está indo bem — continue praticando integrações simples assim e essas fórmulas vão ficar na ponta da língua.

Resposta

\displaystyle V_{dc}=\frac{60(1+\sqrt{2})}{\pi}\\ \text{V}\approx 46{,}13\\ \text{V}

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