6.4 Um retificador de onda completa com um terminal central é alimentado por um transformador com tensào de 120 V no secundário (terminal central para terra). Se ele for usado para carregar uma bateria de 12 V com uma resistência interna de 0,1 \Omega, determine:
a) o ângulo de disparo necessário para produzir uma corrente de carga de 10 A
b) a corrente média no SCR
c) o valor nominal da PIV no SCR

Passo 1

O enunciado dá um retificador de onda completa com terminal central alimentado por um transformador cujo secundário total é de 120\\ \text{V} (o terminal central está ligado à terra). A bateria tem tensão 12\\ \text{V} e resistência interna 0,1\\ \Omega. Pede:
(a) o ângulo de disparo \alpha necessário para obter corrente de carga média I_{dc}=10\\ \text{A};
(b) a corrente média em cada SCR;
(c) o valor da PIV (Peak Inverse Voltage) no SCR.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Tensão do secundário (end-to-end, RMS): 120\\ \text{V}.
  • Terminal central -> cada meia-bobina tem metade da tensão RMS: V_{h,\text{rms}}=60\\ \text{V}.
  • Bateria: V_B=12\\ \text{V}.
  • Resistência interna da bateria (carga): R=0,1\\ \Omega.
  • Corrente média desejada: I_{dc}=10\\ \text{A}.

Passo 2

Determinar a amplitude da tensão de cada meia-bobina (pico). A tensão RMS de cada meia-bobina é 60\\ \text{V}, logo o pico vale
V_m = 60\sqrt{2}\\ \text{V}.
Numérico:
V_m = 60\sqrt{2}\approx 84,85\\ \text{V}.
Explicação didática curta: a tensão RMS V_{\text{rms}} de uma senóide relaciona-se com o pico V_m por V_m=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}}. Aqui usamos a meia-bobina porque, no retificador com terminal central, cada SCR “vê” apenas uma metade do secundário em cada semiciclo.

Passo 3

Derivar a expressão da corrente média de carga I_{dc} em função de \alpha.
Quando um semiciclo conduz (de \theta=\alpha até \theta=\pi), a tensão instantânea disponível é v(\theta)=V_m\sin\theta. A corrente instantânea pela carga (assumindo SCR ideal sem queda de tensão de condução) é
i(\theta)=\frac{V_m\sin\theta - V_B}{R},
válida somente enquanto V_m\sin\theta>V_B, isto é no intervalo \theta\in[\alpha,\pi]. Pelo ciclo inteiro (2 semiciclos simétricos), a corrente média de saída é a média sobre um período:
I_{dc}=\frac{1}{\pi}\int_{\alpha}^{\pi}\frac{V_m\sin\theta - V_B}{R}\,d\theta.
Explicando a fórmula: o fator 1/\pi aparece porque a integral feita de \alpha a \pi representa um semiciclo e há dois semiciclos iguais; dividir por \pi (em radianos) dá a média sobre o período inteiro.
Agora calcular a integral:
\int_{\alpha}^{\pi}(V_m\sin\theta - V_B)\,d\theta = V_m[-\cos\theta]_{\alpha}^{\pi} - V_B(\pi-\alpha) = V_m(1+\cos\alpha) - V_B(\pi-\alpha).
Portanto
I_{dc}=\frac{1}{\pi R}\Big[\,V_m(1+\cos\alpha)-V_B(\pi-\alpha)\,\Big].

Passo 4

Substituir os valores conhecidos e obter a equação para \alpha.
Temos I_{dc}=10\\ \text{A}, R=0,1\\ \Omega, V_B=12\\ \text{V}, V_m=60\sqrt{2}\approx84,85\\ \text{V}. Multiplicando ambos os lados por \pi R obtemos:
V_m(1+\cos\alpha)-V_B(\pi-\alpha)=\pi R I_{dc}.
Calcular o lado direito:
\pi R I_{dc}=\pi\cdot 0{,}1\cdot 10=\pi.
Logo a equação fica
84{,}85\,(1+\cos\alpha)-12(\pi-\alpha)=\pi.
Reescrevendo para facilitar o isolamento:
84{,}85(1+\cos\alpha)+12\alpha = 13\pi.

Passo 5

Resolver numericamente a equação para \alpha.
A equação não é linear em \alpha por causa do \cos\alpha. Podemos resolver por iterações simples (teste de valores) ou método numérico. Faço aqui uma busca rápida por tentativa para obter \alpha:
Testes (mostrando alguns passos de iteração):
  • \alpha=\pi ( =3{,}1416\\ \text{rad}): esquerda =84{,}85(0)+12\pi\approx37{,}70 (menor que 13\pi\approx40{,}84).
  • \alpha=2{,}6\\ \text{rad}: \cos2{,}6\approx-0{,}8569\Rightarrow 1+\cos\approx0{,}1431; esquerda \approx84{,}85\cdot0{,}1431+12\cdot2{,}6\approx12{,}14+31{,}2=43{,}34 (maior).
  • \alpha=2{,}7\\ \text{rad}: \cos2{,}7\approx-0{,}9037\Rightarrow1+\cos\approx0{,}0963; esquerda \approx84{,}85\cdot0{,}0963+12\cdot2{,}7\approx8{,}17+32{,}4=40{,}57 (ligeiramente menor).
  • Refinando entre 2{,}65 e 2{,}70, encontra-se próximo de \alpha\approx2{,}688\\ \text{rad}.
Valor final (aproximado):
\alpha \approx 2{,}688\\ \text{rad}\approx 154{,}1^\circ.
Comentário didático: o ângulo de disparo é grande porque a tensão do transformador é muito maior que a tensão da bateria; para limitar a corrente média a 10\\ \text{A} é preciso disparar bem atrasado no semiciclo (praticamente só aproveitar a cauda da senóide onde a diferença V_m\sin\theta - V_B é pequena).

Passo 6

Corrente média no SCR.
Cada SCR conduz em apenas um dos semiciclos (alternadamente). A corrente média de carga I_{dc} foi definida como a média sobre o período de toda a corrente de saída. A média de corrente em um SCR (considerando a média sobre um período completo) é metade de I_{dc}, porque cada SCR conduz só em um semiciclo idêntico. Logo
I_{\text{SCR,avg}}=\frac{I_{dc}}{2}=\frac{10}{2}=5\\ \text{A}.
Explicação: matematicamente, I_{dc}=(1/\pi)\int_{\alpha}^{\pi}i(\theta)\,d\theta, enquanto a média no SCR que conduz naquele semiciclo é (1/2\pi)\int_{\alpha}^{\pi}i(\theta)\,d\theta=I_{dc}/2.

Passo 7

Determinar a PIV no SCR.
Analisando um instante de pico: quando um SCR está conduzindo e sua meia-bobina está em pico positivo +V_m, a outra ponta do secundário está aproximadamente em -V_m. O SCR não condutor tem seu anodo em -V_m e seu catodo no terminal positivo do conjunto (aproximadamente V_B). Assim a tensão inversa máxima que o SCR deve suportar é aproximadamente
\text{PIV}\approx V_m + V_B.
Substituindo valores:
\text{PIV}\approx 84{,}85 + 12 = 96{,}85\\ \text{V}.
Observação prática: costuma-se arredondar para um valor comercial com margem (por exemplo \ge 100\\ \text{V}). Se o SCR tivesse queda de condução significativa, isso entra como pequena correção; a ordem de grandeza permanece a mesma.

Resposta

(a) \alpha \approx 2{,}688\\ \text{rad} \approx 154{,}1^\circ
(b) I_{\text{média no SCR}} = 5\\ \text{A}é
(c) \text{PIV}_{\text{SCR}} \approx 96{,}85\\ \text{V}

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