Enunciado

Achar o alongamento, δ , de uma barra sujeita ao próprio peso, suspensa verticalmente por uma das extremidades, sabendo que o diagrama tensão-deformação do material é dado pela equação σ n = B ϵ , onde B e n são constantes. (Exprimir δ em função do comprimento L da barra, do peso específico, γ , do material, de B e de n ).

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

O objetivo desta questão é exprimir o alongamento δ . Para isto, vamos ter que trabalhar um pouco com a equação da tensão-deformação σ n = B ϵ .

A nossa primeira pergunta é: quem é a tensão σ ? Por definição, σ = F / A .

E novamente, quem é a força? A força aqui é o peso e, e é uma função do comprimento x da peça, pois:

F = γ ⋅ V o l u m e

F = γ ⋅ A ⋅ x

F A = γ x = σ

Passo 2

Agora que a gente já obteve uma relação para a tensão. Agora, temos que relembrar a definição da deformação específica. Ela é:

ϵ = d δ d x

Agora é só juntar tudo e integrar a nossa equação! Portanto,

σ n = B ϵ

γ x n = B d δ d x

∫ 0 δ d δ = ∫ 0 L γ n B x n d x

δ = γ n L n + 1 B n + 1

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ = γ n L n + 1 B n + 1

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