Achar a relação máxima entre a deflexão máxima e a deflexão no meio da viga mostrada na fig 6-3 para a = L / 3 .

Passo 1

Pessoal, temos a seguinte viga pelo que o enunciado está retratando...

Nada de novo no horizonte. O problema pede a equação da linha elástica y e a inclinação em A , θ = d y / d x . Para tal a gente vai precisar da nossa equaçãozinha:

d 2 y d x 2 = M E I

E como na maior parte das vezes vamos calcular o momento fletor na viga!

Passo 2

Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.

Pelas equações da estática vamos ter:

∑ F x

∑ F y

∑ M

Como só temos um momento agindo aí, vamos ter que:

Para as forças em y :

∑ F y = 0

R 1 + R 2 = P

R 1 = P - R 2

Para o momento sendo aplicado em A e considerando positivo o sentido horário vamos ter:

∑ M A = 0

R 2 L - P L 3 = 0

R 2 = P 3

Da equação em y a gente pode achar que:

R 1 = 2 P 3

Passo 3

Com as forças vamos poder achar o momento fletor.

Temos duas seções.

  • A primeira vai de 0 até L / 3 e nela temos o seguinte momento...
  • ∑ M = 0

    M - R 1 x = 0

    M = R 1 x

    M = 2 P 3 x

  • A segunda vai de L / 3 até L e nela temos o seguinte momento fletor...

∑ M = 0

M - R 1 x + P x - L 3 = 0

M = P L 3 - P 3 x

Passo 4

Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:

d 2 y d x 2 = M E I

Sendo assim, para 0 < x < L / 3 . Substituindo M :

d 2 y d x 2 = 2 P 3 x E I

Agora vamos integrar em x :

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ 2 P 3 x x E I   d x

d y d x = 1 E I P 3 x 2 + C 1

Integrando novamente vamos ter:

∫ d y d x   d x = ∫ 1 E I P 3 x 2 + C 1   d x

y = 1 E I P 9 x 3 + C 1 x + C 2

E para L / 3 < x < L . Substituindo M :

d 2 y d x 2 = P L 3 - P 3 x E I

Agora vamos integrar em x :

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ P L 3 - P 3 x x E I   d x

d y d x = 1 E I P L 3 x - P 6 x 2 + C 3

Integrando novamente vamos ter:

∫ d y d x   d x = ∫ 1 E I P L 3 x - P 6 x 2 + C 3   d x

y = 1 E I P L 6 x 2 - P 18 x 3 + C 3 x + C 4

Passo 5

Lembrando que as condições são as seguintes:

Ao aplicar essas condições no pino ( x = 0 ) vamos ter um y = 0 :

0 = 1 E I P 9 x 3 + C 1 x + C 2

Logo,

C 2 = 0

Portanto a equação fica da forma:

y = 1 E I P 9 x 3 + C 1 x

Agora vamos aplicar na rótula em B onde x = L ... Nesse ponto a deflexão também é zero, logo:

0 = 1 E I P L 6 x 2 - P 18 x 3 + C 3 x + C 4

P L 6 L 2 - P 18 L 3 + C 3 L + C 4 = 0

C 4 = - 2 P 9 L 3 - C 3 L

E em x = L / 3 , temos que y = y e d y d x = d y d x :

y = y

1 E I P 9 L 3 27 + C 1 L 3 = 1 E I P L 6 L 2 9 - P 18 L 3 27 + C 3 L 3 + C 4

P L 3 243 + C 1 L 3 = 4 P L 3 243 + C 3 L 3 + C 4

C 1 L 3 = 3 P L 3 243 + C 3 L 3 + C 4

d y d x = d y d x

1 E I P 3 x 2 + C 1 = 1 E I P L 3 x - P 6 x 2 + C 3

1 E I P L 2 27 + C 1 = 1 E I P L 2 9 - P L 2 54 + C 3

P L 2 27 + C 1 = 5 P L 2 54 + C 3

C 1 = 3 P L 2 54 + C 3

Logo, temos que...

C 1 L 3 = 3 P L 3 243 + C 3 L 3 + C 4

L 3 3 P L 2 54 + C 3 = 3 P L 3 243 + C 3 L 3 + C 4

3 P L 3 162 + C 3 L 3 = 3 P L 3 243 + C 3 L 3 + C 4

C 4 = 9 P L 3 - 6 P L 3 486

C 4 = 3 P L 3 486

C 4 = P L 3 162

E consequentemente...

C 4 = - 2 P 9 L 3 - C 3 L

- P L 3 162 - 18 P L 3 162 = C 3 L

C 3 = - 19 P L 2 162

C 1 = 3 P L 2 54 + C 3

C 1 = 3 P L 2 54 - 19 P L 2 162

C 1 = - 10 P L 2 162

Obtemos dessa forma, a seguinte resposta...

y = 1 E I P 9 x 3 - 10 P L 2 162 x ,   0 ≤   x < L / 3 1 E I P L 6 x 2 - P 18 x 3 - 19 P L 2 162 x + P L 3 162 ,     L / 3 ≤ x < L

Calculando a deflexão no meio da viga...

y = 1 E I P L 54 L 2 - P 144 L 3 - 19 P L 2 324 L + P L 3 162

y = 1 E I P L 3 54 - P L 3 144 - 19 P L 3 324 + P L 3 162

y = 1 E I P L 3 54 - P L 3 144 - 19 P L 3 324 + P L 3 162

y = 19 P L 3 1296 E I = 0,0176 P L 3 E I

E a deflexão máxima...

P 9 x 3 - 10 P L 2 162 x

P 3 x 2 - 10 P L 2 162 = 0

x 2 3 - 10 L 2 162 = 0

x 2 = 30 L 2 162

x = 0,43 L

Temos que...

y = 1 E I P L 6 ( 0,43 L ) 2 - P 18 0,43 L 3 - 19 P L 2 162 ( 0,43 L ) + P L 3 162

y = 0,0178 P L 3 E I   ↓

Logo, calculando a razão...

y m á x y m e i o   d a   v i g a ≅ 1,01

Resposta

y m á x y m e i o   d a   v i g a ≅ 1,01

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