Deduzir a equação da linha elástica para uma viga simplesmente apoiada, carregada como se vê na figura.

Passo 1

Pessoal, nada de novo no horizonte. O problema pede a equação da linha elástica y e a inclinação em A , θ = d y / d x . Para tal a gente vai precisar da nossa equaçãozinha:

d 2 y d x 2 = M E I

E como na maior parte das vezes vamos calcular o momento fletor na viga!

Passo 2

Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.

Pelas equações da estática vamos ter:

∑ F x

∑ F y

∑ M

Como só temos um momento agindo aí, vamos ter que:

Para as forças em y :

∑ F y = 0

R 1 + R 2 = 0

R 1 = - R 2

Para o momento sendo aplicado em A e considerando positivo o sentido horário vamos ter:

∑ M A = 0

R 2 L + M 0 = 0

R 2 = - M 0 L

Da equação em y a gente pode achar que:

R 1 = M 0 L

Passo 3

Com as forças vamos poder achar o momento fletor.

Temos duas seções.

  • A primeira vai de 0 até a e nela temos o seguinte momento...
  • ∑ M = 0

    M - R 1 x = 0

    M = R 1 x

    M = M 0 L x

  • A segunda vai de a até L e nela temos o seguinte momento fletor...

∑ M = 0

M + M 0 - R 1 x = 0

M = R 1 x - M 0

M = M 0 L x - M 0

Passo 4

Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:

d 2 y d x 2 = M E I

Sendo assim, para 0 < x < a . Substituindo M :

d 2 y d x 2 = M 0 L x E I

Agora vamos integrar em x :

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ M 0 L x E I   d x

d y d x = 1 E I M 0 x 2 2 L + C 1

Integrando novamente vamos ter:

∫ d y d x   d x = ∫ 1 E I M 0 x 2 2 L + C 1   d x

y = 1 E I M 0 x 3 6 L + C 1 x + C 2

E para a < x < L . Substituindo M :

d 2 y d x 2 = M 0 L x - M 0 E I

Agora vamos integrar em x :

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ M 0 L x - M 0 x E I   d x

d y d x = 1 E I M 0 x 2 2 L - M 0 ( x - a ) + C 3

Integrando novamente vamos ter:

∫ d y d x   d x = ∫ 1 E I M 0 x 2 2 L - M 0 ( x - a ) + C 3   d x

y = 1 E I M 0 x 3 6 L - M 0 ( x - a ) 2 2 + C 3 x + C 4

Passo 5

Lembrando que as condições são as seguintes:

Ao aplicar essas condições no pino ( x = 0 ) vamos ter um y = 0 :

0 = 1 E I M 0 x 3 6 L + C 1 x + C 2

Logo,

C 2 = 0

Portanto a equação fica da forma:

y = 1 E I M 0 x 3 6 L + C 1 x

Agora vamos aplicar na rótula em B onde x = L ... Nesse ponto a deflexão também é zero, logo:

0 = 1 E I M 0 x 3 6 L - M 0 ( x - a ) 2 2 + C 3 x + C 4

M 0 L 2 6 - M 0 ( L - a ) 2 2 + C 3 L + C 4 = 0

C 4 = M 0 L - a 2 2 - M 0 L 2 6 - C 3 L

E em x = a , temos que y = y e d y d x = d y d x :

y = y

1 E I M 0 a 3 6 L + C 1 a = 1 E I M 0 a 3 6 L - M 0 ( a - a ) 2 2 + C 3 a + C 4

C 1 a = C 3 a + C 4

d y d x = d y d x

1 E I M 0 a 2 2 L + C 1 = 1 E I M 0 a 2 2 L - M 0 ( a - a ) + C 3

C 1 = C 3

Logo, temos que...

C 1 a = C 1 a + C 4

C 4 = 0

Sendo assim, pegando a equação abaixo...

y = 1 E I M 0 x 3 6 L - M 0 ( x - a ) 2 2 + C 3 x

Uma vez que...

M 0 L - a 2 2 - M 0 L 2 6 - C 3 L = 0

C 3 = M 0 L - a 2 2 L - M 0 L 6

E consequentemente...

C 1 = C 3

C 1 = M 0 L - a 2 2 L - M 0 L 6

Obtemos dessa forma, a seguinte resposta...

y = 1 E I M 0 x 3 6 L + M 0 L - a 2 2 L - M 0 L 6 x ,   0 ≤   x < a 1 E I M 0 x 3 6 L - M 0 x - a 2 2 + M 0 L - a 2 2 L - M 0 L 6 x ,     a ≤ x < L

Resposta

y = 1 E I M 0 x 3 6 L + M 0 L - a 2 2 L - M 0 L 6 x ,   0 ≤   x < a 1 E I M 0 x 3 6 L - M 0 x - a 2 2 + M 0 L - a 2 2 L - M 0 L 6 x ,     a ≤ x < L

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