Deduzir a equação da linha elástica para uma viga simplesmente apoiada, carregada como se vê na figura.
Passo 1
Pessoal, nada de novo no horizonte. O problema pede a equação da linha elástica e a inclinação em , . Para tal a gente vai precisar da nossa equaçãozinha:
E como na maior parte das vezes vamos calcular o momento fletor na viga!
Passo 2
Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.
Pelas equações da estática vamos ter:
Como só temos um momento agindo aí, vamos ter que:
Para as forças em :
Para o momento sendo aplicado em e considerando positivo o sentido horário vamos ter:
Da equação em a gente pode achar que:
Passo 3
Com as forças vamos poder achar o momento fletor.
Temos duas seções.
- A primeira vai de até e nela temos o seguinte momento...
- A segunda vai de até e nela temos o seguinte momento fletor...
Passo 4
Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:
Sendo assim, para . Substituindo :
Agora vamos integrar em :
Integrando novamente vamos ter:
E para . Substituindo :
Agora vamos integrar em :
Integrando novamente vamos ter:
Passo 5
Lembrando que as condições são as seguintes:
Ao aplicar essas condições no pino () vamos ter um :
Logo,
Portanto a equação fica da forma:
Agora vamos aplicar na rótula em onde ... Nesse ponto a deflexão também é zero, logo:
E em , temos que e :
Logo, temos que...
Sendo assim, pegando a equação abaixo...
Uma vez que...
E consequentemente...
Obtemos dessa forma, a seguinte resposta...