Enunciado

Achar as tensões nos dois cabos, A B e C D , vistos na figura do Probl. 1.6-7, considerando P = 20000   k g f ; A = 1800   m m 2 ; E = 21000   k g f / m m 2 ; α = 11,7 ⋅ 10 - 6   / ° C e a temperatura nos cabos aumenta de 30°C.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Mais uma questão que é uma modificação de uma questão anterior. Neste caso, temos a modificação da questão 1.6-7.

Ao retirarmos os vínculos e substituirmos por forças, chegamos ao seguinte diagrama de equilíbrio:

E a partir da utilização das equações da estática, chegamos à relação que F A B + 2 F C D = 60000 .

Até este ponto, tudo da questão continua igual. A pequena mudança será descrita a seguir, que se deve a influência do aumento da temperatura nos cabos A B e C D .

Passo 2

Após trabalharmos com as equações da estática, vamos para a análise da deformação da barra.

Como nós dissemos na questão 1.6-7, pelo fato da barra ser rígida, sabemos que ela não se deforma. Esta informação continua sendo verdade, mesmo que tenhamos uma dilatação térmica aqui.

Continuando, as deformações dos cabos em A B e C D devem ser proporcionais com a geometria da barra de forma que ela continue reta. E esta proporcionalidade é a nossa chave. Aplicando esta relação, teremos a seguinte relação de triângulos:

Até este ponto tudo continua o mesmo. Até na relação de triângulos que temos, dada por:

δ A B a = δ C D 2 a

Mas, a partir daqui, teremos algo diferente. A deformação da barra não será apenas devido a força, mas também devido a temperatura! Logo, δ A B = δ F A B + δ T A B e δ C D = δ F C D + δ T C D . Substituindo isto e desenvolvendo a relação, temos:

δ F A B + δ T A B a = δ F C D + δ T C D 2 a

F A B L E A + L α Δ T = F C D L E A + L α Δ T 2

2 F A B + E A α Δ T = F C D

F C D = 2 F A B + 13267,8

E assim descobrimos a segunda equação para que possamos montar o sistema e calcular cada uma das forças!

Passo 3

Juntando as informações que conseguimos nos dois últimos Passos, temos o seguinte sistema:

F A B + 2 F C D = 60000 F C D = 2 F A B + 13267 , 8

Resolvendo o sistema acima obtemos F A B = 6692,88   k g f e F C D = 2 6653,56   k g f .

Então, para finalizarmos a questão, só nos resta calcularmos as tensões em cada cabo. Portanto,

σ A B = F A B A A B = 6692,88 1800 = 3,72   k g f / m m 2

σ C D = F C D A C D = 26653,56 1800 = 1 4,81   k g f / m m 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

σ A B = F A B A A B = 6692,88 1800 = 3,72   k g f / m m 2

σ C D = F C D A C D = 26653,56 1800 = 14,81   k g f / m m 2

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