Enunciado

A barra B representada na figura tem comprimento L , módulo de elasticidade E e área da seção transversal A . Dois cabos com tensores são ligados a pinos reforçados nas extremidades da barra. Cada cabo tem comprimento L , módulo de elasticidade E c e área de seção transversal A c . O passo da rosca dos tensores de dupla ação é P . Estabelecer uma fórmula para calcular o número de voltas n , que cada tensor deve dar para gerar na barra uma tensão uniforme σ 0 .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Nesta questão precisamos determinar uma fórmula que relacione o número de voltas n do tensor com a tensão σ 0 da barra.

Vamos começar entendendo as forças que acontecem no problema. Como cada cabo é tracionado, por uma força P c , a barra deverá estar sujeita a uma força P b de compressão tal que:

P b = 2 P c

Isto é necessário para que a barra esteja em equilíbrio ∑ F = 0 .

E assim obtemos a primeira equação fundamental para que resolvamos a questão!

Passo 2

Agora temos que entender o que ocorre com as barras ao serem deformadas.

Devido a conexão dos cabos com a barra, a deformação das duas estruturas deve ser igual! Portanto,

δ c a b o = δ b a r r a

Mas o que causa cada deformação?

Bom, para a barra, fica mais fácil. Aqui apenas a força P b (de compressão), é a responsável pela deformação da mesma. Logo,

δ b a r r a = - P b L E A = - σ 0 L E

OBS: já aproveitamos para substituir P b / A pela tensão na barra σ 0 .

Mas quem é a deformação no cabo? Será apenas a deformação da força P c ??? Isto não faria muito sentido, já que o cabo está sendo tracionado (e no final deve ser comprimido, visto que δ c a b o = δ b a r r a ).

E de fato não temos apenas a deformação da força. Também teremos a ação do tensor na redução do comprimento do cabo. A cada volta do tensor, o cabo diminui de 2 n P (duas vezes pois diminui dos dois lados do cabo). Portanto, a deformação no cabo será:

δ c a b o = P c L E c A c - 2 n p

Passo 3

Agora que descobrimos as relações para δ c a b o e δ b a r r a , só nos resta desenvolvermos a relação entre elas para finalizarmos a questão. Desta forma, temos:

δ c a b o = δ b a r r a

P c L E c A c - 2 n P = - σ 0 L E

Mas como P c = P b / 2 (visto lá no Passo 1), temos:

2 n P = σ 0 L E + P b L 2 E c A c

2 n P = σ 0 L E + P b A A L 2 E c A c  

2 n P = σ 0 L E + σ 0 A L 2 E c A c  

2 n P = σ 0 L E 1 + E A 2 E c A c    

n = σ 0 L 2 P E 1 + E A 2 E c A c

E assim finalizamos a questão!

Resposta

n = σ 0 L 2 P E 1 + E A 2 E c A c

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