Enunciado

Calcular a energia de deformação numa barra prismática, vertical, suspensa por uma extremidade e sujeita à ação do próprio peso, sendo L o comprimento, A a área da seção transversal, E o módulo de elasticidade e γ o peso específico.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Temos aqui uma barra prismática, de comprimento L e seção transversal A pendurada na vertical sob ação do seu próprio peso. Ressaltando, apenas sobre seu próprio peso!

Como apenas o peso atua na barra, temos um esforço que é atuado em todas as seções transversais da barra. Podemos escrever a função por:

P x = γ ⋅ V o l u m e

P x = γ ⋅ A ⋅ x

Sendo x o comprimento da barra.

Como nosso objetivo é determinar a energia de deformação da barra, basta utilizarmos a seguinte equação:

U = ∫ 0 L P x 2 2 E A d x

Se o carregamento fosse constante para todas as seções transversais da barra (qualquer comprimento), então, teríamos a relação U = P 2 L / 2 E A , que tanto usamos.

Mas como aqui P x = γ A x , então, teremos que calcular a integral!

Sendo assim, vamos aos cálculos!

Passo 2

Agora que entendemos como conseguimos determinar a energia de deformação, só nos resta calcularmos a integral. Portanto,

U = ∫ 0 L P x 2 2 E A d x

U = ∫ 0 L γ A x 2 2 E A d x

U = ∫ 0 L γ 2 A 2 x 2 2 E A d x = γ 2 A 2 E ∫ 0 L x 2 d x

U = γ 2 A 2 E x 3 3 0 L = γ 2 A L 3 6 E

E assim finalizamos a questão!

Resposta

U = γ 2 A L 3 6 E

Ver Outros Exercícios desse livro