Deduzir a equação da linha elástica de uma viga em balanço, com uma concentrada P na extremidade livre (ver a figura). Calcular, também, a deflexão δ e o deslocamento angular θ na mesma extremidade.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar a equação da linha elástica, como também a deflexão e deslocamento angular na extremidade livre, para uma viga engastada submetida a uma carga pontual P na extremidade livre

Para que a gente consiga resolver a questão, vamos ter que obter o momento fletor para uma seção da viga. Sendo assim, ao fazermos um corte nela, temos o seguinte diagrama de corpo livre:

Então, a partir das equações de equilíbrio, temos que M = - P w , sendo 0 ≤ w ≤ L .

Só que a gente tem um pequeno probleminha: a coordenada usada na questão é x , e não w (que cresce da direita para esquerda). Fazendo uma mudança de coordenadas, temos:

M = - P L - x = - P L + P x

E agora sim já temos a base para seguirmos com a questão!

Passo 2

Agora que a gente já conhece o momento fletor, vamos ter que fazer integrações sucessivas para obter a equação da linha elástica.

Portanto, utilizando a relação da linha elástica com o momento fletor, temos:

E I v ' ' = - M

E I v ' ' = P L - P x

Integrando-a, temos:

E I v ' = P L x - P x 2 2 + C 1

E I v = P L x 2 2 - P x 3 6 + C 1 x + C 2

Para que a gente termine de determinar a equação da linha elástica, precisamos aplicar as condições de contorno do problema. Neste caso, temos v 0 = v ' 0 = 0 . Portanto,

v ' 0 = 1 E I C 1 = 0 v 0 = 1 E I C 2 = 0 ⟹ C 1 = 0 C 2 = 0

E assim, chegamos na seguinte equação da linha elástica:

v x = 1 E I P L x 2 2 - P x 3 6

Passo 3

Para finalizarmos a questão, temos que descobrir a equação da deflexão e do deslocamento angular em x = L . Portanto, a deflexão será:

δ = v L = P L 3 3 E I

Já o deslocamento angular será:

θ = v ' L = P L 2 2 E I

E assim finalizamos a questão!

Resposta

v x = 1 E I P L x 2 2 - P x 3 6

δ = P L 3 3 E I

θ = P L 2 2 E I

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