Deduzir as equações da linha elástica para uma viga simplesmente apoiada, com uma carga uniforme distribuída na metade esquerda do vão (ver a figura).
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Precisamos determinar a equação da linha elástica para uma viga submetida a um carregamento uniforme apenas na metade esquerda do vão.
Esta questão será um pouco trabalhosa, pois precisamos determinar as equações da linha elástica para ambas as metades das vigas. Depois, devemos aplicar as condições de contorno para enfim conseguir a resposta da questão.
Para que a gente consiga resolver a questão, vamos ter que obter o momento fletor para ambas as seções da viga. Sendo assim, vamos começar desenhando o diagrama de corpo livre da viga. Logo,
Então, se a gente aplica as equações de equilíbrio, teremos:
OBS: percebam que o carregamento foi substituído por uma força pontual (que equivale a todo o carregamento) no centroide da distribuição do carregamento.
Resolvendo o nosso sistema, obtemos , e .
Passo 2
Agora precisamos determinar as equações para o momento fletor da viga. Para isto, temos que fazer cortes na seção 1 (metade esquerda) e seção 2 (metade direita). Portanto, teremos os seguintes diagramas:
Sendo e para as seções 1 e 2, respectivamente. Novamente, percebam que o carregamento distribuído foi substituído por uma carga pontual no centroide da distribuição!
Bom, como queremos o momento fletor para ambas as seções, basta analisarmos o somatório de momentos em torno do corte! Logo,
E assim finalizamos a primeira parte da questão.
Passo 3
Agora que a gente já conhece o momento fletor, vamos ter que fazer integrações sucessivas para cada uma das seções.
Vamos começar pela seção 1. Através da relação da linha elástica com momento fletor, temos:
Integrando-a, temos:
Agora nós precisamos aplicar as condições de contorno. Sabemos que . Logo,
Já a nossa segunda condição vai depender da seção 2, que é no ponto de separação das seções . Calculando a deflexão e a inclinação da viga, temos:
Passo 4
Vamos repetir o mesmo procedimento do Passo 3, só que para a seção 2. Através da relação da linha elástica com momento fletor, temos:
Integrando-a, temos:
Agora nós precisamos aplicar as condições de contorno. Para este caso, sabemos que e são exatamente os mesmos valores que calculamos anteriormente (no Passo 2), e também sabemos que .
Calculando cada um destes e , temos:
Igualando as equações acima as condições de contorno, temos:
Reorganizando o sistema acima obtemos:
Substituindo a primeira e terceira equação na segunda equação,
E com isto, obtemos:
E portanto, a equação da linha elástica será:
E assim finalizamos a questão!