Duas barras, A B e B C , suportam uma carga vertical P . As barras são feitas do mesmo material e o comprimento, L , da horizontal B C é constante. Entretanto, o ângulo θ pode variar pelo movimento vertical do ponto A , alterando-se o comprimento de A B para corresponder ás novas posições, Supondo que as tensões admissíveis, à tração e à compressão, sejam iguais e que as barras sejam carregadas até esse valor, determinar o ângulo θ que dê à estrutura o peso minimo.

Passo 1

Bom galera, vamos começar fazendo um pequeno diagraminha de corpo livre do ponto B :

Vamos fazer um equilíbrio de forças:

∑ F y = 0

F A B ⋅ sin ⁡ θ - P = 0

F A B = P sin ⁡ θ

E também:

∑ F x = 0

F A B ⋅ cos ⁡ θ - F B C = 0

F B C = F A B ⋅ cos ⁡ θ

F B C = P sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ = P tan ⁡ θ

Passo 2

Belezinha, agora vamos encontrar algumas informações, vamos lá, primeiro a área das barras:

A A B = F A B σ a d m = P σ a d m ⋅ sin ⁡ θ

A A B = F B C σ a d m = P σ a d m ⋅ ta n ⁡ θ

Enquanto que a largura da barra que varia é dada por:

L A C = L cos ⁡ θ

Passo 3

Show de bolinhas, vamos atrás agora do peso da treliça, onde γ é a densidade do material.

W = γ ( A A C L A C + A B C L B C )

= γ P L σ a d m 1 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 tan ⁡ θ

= γ P L σ a d m 1 + cos ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

γ , P , L e σ a d m são constantes e apenas W varia com θ .

Então vamos chamar:

k = γ P L σ a d m

Então ficamos com:

W k = 1 + cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 4

Agora, a gente precisa encontrar o ponto em que o peso é mínimo, vamos então derivar a função que a gente tem e igualar a 0 .

f = 1 + cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

d f d θ = 0 = sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ - ( 1 + cos 2 ⁡ θ ) ( - sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ) sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ

0 = - sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ - cos 4 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ

Vamos resolver essa equação agora:

- sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ - cos 4 ⁡ θ = 0

Usamos a propriedade: sin 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ :

- 1 - cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + 1 - cos 2 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ - cos 4 ⁡ θ = 0

1 - 3 cos 2 ⁡ θ = 0

cos 2 ⁡ θ = 1 3

cos ⁡ θ = 1 3

θ = arccos ⁡ 1 3 = 54,7 °

Resposta

θ = 54,7 °

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