Enunciado

O quadro que se vê na figura é formado por barras externas de alumínio ( E a l = 7000   k g f / m m 2 ,   α a l = 21,6 ⋅ 10 - 6   / ° C ) e diagonais em fios de aço ( E a = 21 000   k g f / m m 2 ,   α a = 1 1 , 7 ⋅ 10 - 6   / ° C ) . As áreas das seções transversais das barras de alumínio e dos fios de aço estão na relação 20:1. Achar as tensões nos fios de aço, se a temperatura do quadro aumentar de 45°C.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Temos um quadro, de forma quadrada, composto por barras externas de alumínio nos lados (comprimento L ) e fios de aço nas diagonais (comprimento L 2 ).

A questão nos pede para determinarmos as tensões nos fios de aço após todo o quadro ser submetido a um aumento de temperatura de 45°C.

Como o alumínio tem um coeficiente de dilatação maior do que o aço, ao dilatarmos o quadro, deve-se surgir tensões compressivas no alumínio e tensões trativas no aço de forma que a deformação dos dois “sejam iguais”.

Isto é, devem surgir tensões que mantém as barras conectadas aos fios, mantendo assim o formato quadrado da estrutura.

Portanto, temos que trabalhar com duas vertentes: analisar a relação das deformações e analisar a relação das forças.

Passo 2

Vamos começar pela parte mais fácil. Vamos obter a relação entre as forças no fio e na barra.

Para isto, basta utilizarmos o método dos nós para qualquer dos vértices do quadro. Fazendo isto, teremos o seguinte diagrama de equilíbrio:

Portanto, utilizando as equações da estática, temos:

P a l = cos ⁡ 45 ° P a

E assim conseguimos relacionar as duas forças!

Passo 3

Agora temos que relacionar a deformação das duas barras.

Como o fio permanece na diagonal do quadrado, a sua deformação será nesta mesma direção. Já as barras deformarão na direção horizontal e vertical.

Fazendo um esboço destes deslocamentos, temos:

Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

δ a = 2 δ a l

Mas quem é δ a e δ a l ? São as deformações devido a dilatação e a ação das forças em cada material! Portanto, substituindo as relações apropriadas, temos:

L a α a Δ T + P a L a E a A a = 2 L a l α a l Δ T - P a l L a l E a l A a l

Lembrando, pelo enunciado da questão temos A a l = 20 A a . Logo,

L 2 α a Δ T + P a L 2 E a A a = 2 L α a l Δ T - cos ⁡ 45 ° P a L E a l 20 A a

α a Δ T + P a E a A a = α a l Δ T - cos ⁡ 45 ° P a E a l 20 A a

1 E a + cos ⁡ 45 ° 20 E a l P a A a = α a l - α a Δ T

σ a = α a l - α a Δ T 1 E a + cos ⁡ 45 ° 20 E a l

σ a = 21,6 - 11,7 ⋅ 10 - 6 ⋅ 45 1 21000 + cos ⁡ 45 ° 20 ⋅ 7000 = 8,46   k g f / m m 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

σ a = 8,46   k g f / m m 2

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