Uma viga em balanço está sujeita a uma carga uniformemente distribuída, sendo q a taxa de carregamento (ver a Fig. 6-4). Calcular o deslocamento angular θ b e a deflexão δ na extremidade livre.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos calcular o deslocamento angular e a deflexão da extremidade livre de uma viga em balanço sujeito a uma carga uniformemente distribuída q .

Para isto, a questão impõe que a gente utilize o método dos momentos estáticos das áreas. Este método nos diz que o deslocamento e a deflexão são dados por:

Δ = ∫ A B x 1 M d x E I θ = ∫ A B M d x E I

Sendo Δ a deflexão total [é igual a δ em módulo, a diferir pelo sinal, que indica se é para baixo (negativo) ou para cima (positivo)] e θ o deslocamento angular [mesma coisa com o sinal]. Por fim, temos a distância x 1 , que é a distância do elemento até o ponto B (extremidade direita). Portanto, neste caso, x 1 = L - x .

Outra informação necessária é o momento fletor para o caso da nossa viga. Aqui, para 0 ≤ x ≤ L , temos:

M x = - q L - x 2 2 = - q L 2 - 2 L x + x 2 2

Agora nós temos todas as informações necessárias. Só nos resta fazermos o cálculo!

Passo 2

Vamos fazer as duas integrais. Começando pela deflexão, temos:

Δ = ∫ 0 L - q L 2 - 2 L x + x 2 L - x 2 E I d x

Δ = ∫ 0 L - q L 3 - 3 L 2 x + 3 L x 2 - x 3 2 E I d x

Δ = - q 2 E I L 3 x - 3 L 2 x 2 2 + L x 3 - x 4 4 0 L = - q L 4 8 E I

Portanto, a deflexão é δ = q L 4 8 E I e é para baixo. Já o deslocamento angular será:

θ = ∫ 0 L q L 2 - 2 L x + x 2 2 E I d x

θ = - q 2 E I L 2 x - L x 2 + x 3 3 0 L = - q L 3 6 E I

Então, θ b = q L 3 6 E I no sentido horário.

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ = q L 4 8 E I

θ b = q L 3 6 E I

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