Uma viga de madeira, retangular, deve ser cortada de uma tora circular de diâmetro (ver a figura). Quais devem ser as dimensões e de modo a se obter a viga mais resistente?
Passo 1
Vamos começar!
O que nós sabemos?
Bom! A princípio a gente não sabe nada! Kkkkkkkkkkkk
É rir pra não chorar, né não! Mas calma que vai ter uma luz no fim do túnel. Vai ter que dar pra tirar algo...
A questão nos pergunta quais devem ser as dimensões e de modo a se obter a viga mais resistente! E pra termos uma viga mais resistente, é porque ela vai estar sujeita a uma tensão admissível , certo?
E é claro que a viga também vai estar sujeito a momentos fletores, também né!?
Esses momentos fletores vão gerar na viga tensões de flexão , de acordo com a fórmula da flexão:
Onde:
- (ou só “”) é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
- é a posição do ponto da seção em que se quer calcular a tensão em relação à linha neutra da seção;
- & (ou só “”) é o momento de inércia da área da seção.
Passo 2
Então vamos começar! A única coisa que dá pra gente fazer é achar os momentos de inércia e as posições do ponto da seção !
O momento de inércia da tora circular é dado por...
Já o momento de inércia depois, quando a tora circular é cortada para dar origem a uma viga retangular, é...
Passo 3
Agora, vamos dar uma olhada na posição da barra em cada situação. Antes, quando a tora era circular, tínhamos que…
Depois, com a viga retangular, a posição vai ser dada por…
Sendo assim, supondo que o momento fletor se mantenha, a tensão antes vai ser…
Já a tensão depois, será dada por…
Considerando que a tensão máxima antes fosse a e que a tensão máxima depois é igual à…
O que a gente precisa que aconteca, é que…
Passo 4
Agora se liga na figura do enunciado! Pelo teorema de Pitágoras, temos que
Isolando …
Temos que…
Tirando a derivada em relação à …
E depois, igualando ela a zero pra achar o valor máximo…
Temos que…
E consequentemente…
Igualzinho ao gabarito! Tamo mandando bem!