Uma viga de madeira, retangular, deve ser cortada de uma tora circular de diâmetro d (ver a figura). Quais devem ser as dimensões b e h de modo a se obter a viga mais resistente?

Passo 1

Vamos começar!

O que nós sabemos?

Bom! A princípio a gente não sabe nada! Kkkkkkkkkkkk

É rir pra não chorar, né não! Mas calma que vai ter uma luz no fim do túnel. Vai ter que dar pra tirar algo...

A questão nos pergunta quais devem ser as dimensões b e h de modo a se obter a viga mais resistente! E pra termos uma viga mais resistente, é porque ela vai estar sujeita a uma tensão admissível σ a d m , certo?

σ a d m

E é claro que a viga também vai estar sujeito a momentos fletores, também né!?

Esses momentos fletores M F l vão gerar na viga tensões de flexão σ , de acordo com a fórmula da flexão:

σ = M F l y I z z

Onde:

  • M F l (ou só “ M ”) é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
  • y é a posição do ponto da seção em que se quer calcular a tensão σ em relação à linha neutra da seção;
  • & I z z (ou só “ I ”) é o momento de inércia da área da seção.

Passo 2

Então vamos começar! A única coisa que dá pra gente fazer é achar os momentos de inércia I e as posições do ponto da seção y !

O momento de inércia I a n t e s da tora circular é dado por...

I a n t e s = π 4 r 4 = π 64 d 4

Já o momento de inércia depois, quando a tora circular é cortada para dar origem a uma viga retangular, é...

I d e p o i s = b h 3 12

Passo 3

Agora, vamos dar uma olhada na posição y da barra em cada situação. Antes, quando a tora era circular, tínhamos que…

y = d 2

Depois, com a viga retangular, a posição y vai ser dada por…

y = h 2

Sendo assim, supondo que o momento fletor M se mantenha, a tensão antes vai ser…

σ a n t e s = M F l d 2   π 64 d 4

Já a tensão depois, será dada por…

σ d e p o i s = M F l h   b h 3 12

Considerando que a tensão máxima antes fosse a σ a d m e que a tensão máxima depois é igual à…

σ d e p o i s = σ a d m

O que a gente precisa que aconteca, é que…

σ a d m = M F l h   b h 3 12

Passo 4

Agora se liga na figura do enunciado! Pelo teorema de Pitágoras, temos que

d 2 = b 2 + h 2

Isolando b

b = d 2 - h 2

Temos que…

σ d e p o i s = M F l h   d 2 - h 2 ⋅ h 3 12

σ d e p o i s = M F l   d 2 - h 2 ⋅ h 2 12

σ d e p o i s = M F l   h 4 d 2 - h 6 12

σ d e p o i s = 12 M F l h 4 d 2 - h 6

Tirando a derivada em relação à h

d σ d e p o i s d h = d d h 12 M F l h 4 d 2 - h 6

d σ d e p o i s d h = 12 M F l d d h 1 h 4 d 2 - h 6

d σ d e p o i s d h = 12 M F l - 2 d 2 + 3 h 2 h 3 d 2 - h 2 3 2

E depois, igualando ela a zero pra achar o valor máximo…

- 2 d 2 + 3 h 2 = 0

3 h 2 = 2 d 2

h = 2 d 3

Temos que…

b = d 2 - h 2

b = d 2 - 2 d 3 2

b = d 2 - 2 3 d 2

b = 1 3 d 2

b = d 3

E consequentemente…

h = 2 3 ⋅ 3 b

h = 2 b

Igualzinho ao gabarito! Tamo mandando bem!

Resposta

h = 2 b

b = d 3

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