Para a viga do Probl. 6.3-4, calcular a deflexão δ b , na extremidade livre. Supor E I constante e dividir a viga em quatro partes iguais.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Conforme pedido pelo livro, precisamos resolver esta questão pelo método de diferenças finitas.

Nesta questão nós precisamos determinar a deflexão na extremidade livre da viga do Probl. 6.3-4. Além disto, devemos dividir a viga em 4 intervalos iguais (comprimento L / 4 ). Assim, teremos 5 pontos.

Por definição, a equação da linha elástica, pelo método de diferenças finitas, será:

v i + 1 - 2 v i + v i - 1 h 2 = - M i E I i

Sendo esse h o comprimento dos intervalos.

Agora que a gente já tem a base da nossa questão, vamos montar o nosso sistema de equação!

Passo 2

Para que a gente consiga desenvolver a nossa equação, precisamos determinar quem é o momento fletor de cada ponto.

Voltando lá na questão 6.3-4, nós obtemos a seguinte relação para o momento fletor:

M = - - q 0 6 L x 3 + q 0 2 x 2 - q 0 L 2 x + q 0 L 2 6

M = q 0 6 L x 3 - q 0 2 x 2 + q 0 L 2 x - q 0 L 2 6

M = q 0 6 L x 3 - 3 L x 2 + 3 L 2 x - L 3

Já a rigidez da viga E I é constante para todos os pontos.

Sendo assim, substituindo estas relações para os pontos 0, 1, 2 e 3, o nosso sistema de equação será:

v 1 - 2 v 0 + v - 1 = - h 2 M 0 E I v 2 - 2 v 1 + v 0 = - h 2 M 1 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - h 2 M 2 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - h 2 M 3 E I

v 1 - 2 v 0 + v - 1 = - L 4 2 - q 0 L 2 6 E I v 2 - 2 v 1 + v 0 = - L 4 2 - 9 q 0 L 2 128 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - L 4 2 - q 0 L 2 48 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - L 4 2 - q 0 L 2 384 L E I

v 1 - 2 v 0 + v - 1 = q 0 L 4 96 E I v 2 - 2 v 1 + v 0 = 9 q 0 L 4 2048 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = q 0 L 4 768 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = q 0 L 4 6144 E I

E assim terminamos de montar o nosso sistema!

Passo 3

Bom, agora só nos resta resolvermos o sistema obtido no Passo 2.

E para que a gente consiga resolver o nosso sistema, precisamos de condição de contorno. Esta condição é que v 0 = 0 .

Além disto, temos uma deflexão imaginária v 1 . Analisando pela inclinação da viga, temos v 1 = v - 1 .

Com isto, nosso sistema será:

v 1 = q 0 L 4 192 E I v 2 - 2 v 1 = 9 q 0 L 4 2048 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = q 0 L 4 768 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = q 0 L 4 6144 E I

Agora sim! Resolvendo este sistema, obtemos:

v 4 = 113 q 0 L 4 3072 E I

δ b = v 4 = 0 , 0368 q 0 L 4 E I

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ b = 0 , 0368 q 0 L 4 E I

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