Para a viga representada na Fig. 7-2, calcular as reações, resolvendo a equação diferencial de quarta ordem da linha elástica

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos resolver o caso da viga da Fig. 7-2, que está submetida engastada que está submetida a um carregamento constante q e tem um apoio na sua extremidade livre.

É exatamente a questão desenvolvida durante a seção 7.2. Só que aqui nós devemos resolver a equação diferencial de quarta ordem da linha elástica! Relembrando, ela será:

E I v ' ' ' ' = q x

E I v ' ' ' ' = q

Bom, o resto da questão consiste em bastante integração e substituição das condições de contorno!

Então, vamos as contas!

Passo 2

Agora nós precisamos resolver a EDO. Para isto, temos que integrar ela quatro vezes. Logo,

E I v ' ' ' ' = q

E I v ' ' ' = q x + C 1

E I v ' ' = q x 2 2 + C 1 x + C 2

E I v ' = q x 3 6 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

E I v = q x 4 24 + C 1 x 3 6 + C 2 x 2 2 + C 3 x + C 4

E assim chegamos a uma equação com quatro incógnitas ( C 1 , C 2 , C 3 e C 4 ). Para descobrirmos estas incógnitas, temos que utilizar as quatro condições que temos para o problema: v 0 = 0 , v ' 0 = 0 , v ' ' L = 0 e v L = 0 . Fazendo esta devida substituição, teremos o seguinte sistema:

v 0 = 0 v ' 0 = 0 v ' ' L = 0 v L = 0 ⟹ C 4 = 0 C 3 = 0 q L 2 2 + C 1 L + C 2 = 0 q L 4 24 + C 1 L 3 6 + C 2 L 2 2 = 0

Através das duas últimas equações nós obtemos que C 1 = - 5 q L / 8 e C 2 = q L 2 / 8 . Sendo assim, a equação da linha elástica será:

E I v = q x 4 24 - 5 q L x 3 48 + q L 2 x 2 16

Passo 3

Mas calma que a gente ainda não resolveu a questão! Precisamos obter as reações em A e B. Para isto, vamos ter que trabalhar com a terceira e quarta derivada da linha elástica, pois:

E I v ' ' ' = - V E I v ' ' = - M ⟹ q x - 5 q L 8 = - V q x 2 2 - 5 q L x 8 + q L 2 8 = - M

Portanto, se calcularmos o esforço cortante para o ponto x = 0 teremos a reação R a . Já se calcularmos o momento fletor em x = 0 , teremos o momento M a .

Então, temos:

R a = 5 q L 8

M a = q L 2 8

Por fim, para calcularmos a reação R b , temos:

R b = q L - 5 q L 8 = 3 q L 8

E assim finalizamos a questão!

Resposta

M a = q L 2 8 R b = 3 q L 8 R a = 5 q L 8

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