6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

g) f x = ln ⁡ x 2 + 1 + 2 x 3 x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter a derivada da função f x = ln ⁡ x 2 + 1 + 2 x 3 x .

Como vamos fazer isso? 🤔

A primeira coisa a se fazer nesses casos é analisar a função e identificar o que podemos usar a nosso favor.

Nesse caso, vemos que a função f x se trata de uma função composta, ou seja, podemos reescrever o termo ln ⁡ x 2 como u 2 onde u = ln ⁡ x .

Então, a melhor forma a se derivar essa função seria aplicar a regra da cadeia! Nesse método, podemos calcular a derivada de uma função composta como o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função é dada por f x = ln ⁡ x 2 + 1 + 2 x 3 x e portanto, sua derivada será

f ' x = d ln ⁡ x 2 + 1 + 2 x 3 x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então vamos tratar cada termo separadamente.

f ' x = d ln ⁡ x 2 d x + d 1 + 2 x 3 x d x

Começando por ln ⁡ x 2 podemos ver que a função interna é dada por ln ⁡ x e a função externa por u 2 .

Aplicando a regra da cadeia, temos

d ln ⁡ x 2 d x = d ln ⁡ x d x · d u 2 d u

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial as derivadas de ln ⁡ x e u 2 são

d ln ⁡ x d x = 1 x

d u 2 d u = 2 u

Portanto, a derivada desse termo é

d ln ⁡ x 2 d x = 1 x · 2 u

Voltando u para ln ⁡ x ...

d ln ⁡ x 2 d x = 2 ln ⁡ x x

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos tratar do termo 1 + 2 x 3 x

Podemos reescrevê-lo como

1 + 2 x 3 x = e x l n 1 + 2 x 3

E, portanto, sua derivada será

d 1 + 2 x 3 x d x = d e x l n 1 + 2 x 3 d x

Aplicando a regra da cadeia para e v como a função externa e x l n 1 + 2 x 3 como a função interna, temos

d e x l n 1 + 2 x 3 d x = d x l n 1 + 2 x 3 d x · d e v d v

A derivada de x l n 1 + 2 x 3 é obtida pela regra do produto, veja só

d e x l n 1 + 2 x 3 d x = d x d x · l n 1 + 2 x 3 + x · d l n 1 + 2 x 3 d x d e v d v

E novamente, a derivada de l n 1 + 2 x 3 é obtida pela regra da cadeia...

d e x l n 1 + 2 x 3 d x = d x d x · l n 1 + 2 x 3 + x · d 1 + 2 x 3 d x · d l n t d t d e v d v

d e x l n 1 + 2 x 3 d x = d x d x · l n 1 + 2 x 3 + x · d 1 d x + d 2 x 3 d x · d l n t d t d e v d v

E para o termo 2 x 3 , aplicamos a regra do expoente como 2 x 3 = e x 3 ln ⁡ 2

d e x l n 1 + 2 x 3 d x = d x d x · l n 1 + 2 x 3 + x · d 1 d x + d e x 3 ln ⁡ 2 d x · d l n t d t d e v d v

E mais uma vez, aplicando a regra da cadeia na derivada de e x 3 ln ⁡ 2 , temos

d e x l n 1 + 2 x 3 d x = d x d x · l n 1 + 2 x 3 + x · d 1 d x + d x 3 ln ⁡ 2 d x · d e p d p · d l n t d t d e v d v

Entendeu essa parte? 👀

Passo 4

Finalmente, obtendo as derivadas desse termo, temos que as derivadas de x , x 3 ln ⁡ 2 e 1 são obtidas pelo método de derivação polinomial

d x d x = 1

d 1 d x = 0

d x 3 ln ⁡ 2 d x = 3 ln ⁡ 2 x 2

Já as derivadas dos termos e p , e v e ln ⁡ t são dadas pelo teorema fundamental do cálculo.

d e p d p = e p

d e v d v = e v

d l n t d t = 1 t

Substituindo na derivada de e x l n 1 + 2 x 3 ...

d e x l n 1 + 2 x 3 d x = 1 · l n 1 + 2 x 3 + x · 0 + 3 ln ⁡ 2 x 2 · e p · 1 t e v

Substituindo p por x 3 ln ⁡ 2 , v por x l n 1 + 2 x 3 e t por 1 + 2 x 3 de volta, vamos obter

d e x l n 1 + 2 x 3 d x = l n 1 + 2 x 3 + x 3 ln ⁡ 2 x 2 · e x 3 ln ⁡ 2 · 1 1 + 2 x 3 e x l n 1 + 2 x 3

Simplificando os expoentes...

d e x l n 1 + 2 x 3 d x = l n 1 + 2 x 3 + 3 ln ⁡ 2 x 2 · 2 x 3 x 1 + 2 x 3 1 + 2 x 3 x

E substituindo os resultados em f ' x

f ' x = d ln ⁡ x 2 d x + d 1 + 2 x 3 x d x

f ' x = 2 ln ⁡ x x + l n 1 + 2 x 3 + 3 ln ⁡ 2 x 2 · 2 x 3 x 1 + 2 x 3 1 + 2 x 3 x

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = 2 ln ⁡ x x + l n 1 + 2 x 3 + 3 ln ⁡ 2 x 2 · 2 x 3 x 1 + 2 x 3 1 + 2 x 3 x

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