Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Seja f ( x ) = 2 ( x 2 + 1 )   a r c t a n ( x ) ,   x ∈ ℝ .

( b ) Verifique que f ( - 1 ) = - π e calcule ( f - 1 ) ' ( - π ) ;

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Precisamos considerar a seguinte função

f ( x ) = 2 ( x 2 + 1 )   a r c t a n ( x ) ,   x ∈ ℝ

precisamos verificar então que f ( - 1 ) = - π . Isso pode ser feito aplicando o valor de x indicado na função. No entanto, a segunda parte irá requerer que encontremos a sua inversa e que usemos propriedades de derivação para encontrar a derivada e então, aplicar em x = - π ! Vamos passo a passo! Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos usar x = - 1 em nossa função

f ( - 1 ) = 2 [ ( - 1 ) 2 + 1 ] a r c t a n ( - 1 ) = 4   a r c t a n ( - 1 )

Beleza, mas quanto vale isso? Lembre que a função a r c t a n ( x ) é a inversa da função t a n ( x ) definida como

t a n ( x ) = s e n ( x ) c o s ( x )

Ou seja, encontrando o valor de x para que t a n ( x ) = - 1 , temos que este será o resultado de a r c t a n ( - 1 ) . Em nosso caso, vamos nos lembrar que para x = π / 4 , temos que

t a n ( π / 4 ) = 1

Mas, como temos que a função tangente é uma razão de uma função ímpar (o seno), com uma função par (o cosseno), a função tangente é ímpar! E, sendo assim, temos que

t a n ( - π / 4 ) = - 1

E como discutimos, temos que

a r c t a n ( - 1 ) = - π / 4

e, finalmente

f ( - 1 ) = 4 ( - π / 4 ) = - π

Como queríamos mostrar! Vamos agora encontrar a nossa inversa!

Passo 3

O segredo para achar uma função inversa é fazer a troca x = f - 1 ( x ) e f ( x ) = x , e então isolar a função, temos que

x = 2 ( [ f - 1 ( x ) ] 2 + 1 )   a r c t a n [ f - 1 ( x ) ]

Note que o problema na verdade não pede para isolarmos quem é f - 1 ( x ) , apenas encontrar a sua derivada e avaliar em um ponto específico! Devido ao formato da função acima, derivar implicitamente será mais fácil! Lembra como fazer isso? Devemos aplicar a regra da cadeia, em que se temos funções compostas da forma f ( g ( x ) ) , a sua derivada será dada por

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d d g [ f ( g ) ] d d x [ g ( x ) ]

expandindo os produtos em nossa função, temos que

x = 2 f - 1 2 a r c t a n ( f - 1 ) + 2   a r c t a n ( f - 1 )

derivando em ambos os lados, temos que

d d x [ x ] = 2 d d x [ f - 1 2 a r c t a n ( f - 1 ) ] + 2 d d x [ a r c t a n ( f - 1 ) ]

em ambas precisaremos usar a regra da cadeia, no entanto, a primeira precisa de uma regra do produto e uma regra da cadeia adicional! Vamos começar com a segunda derivada então!

Passo 4

Vamos calcular a seguinte derivada

d d x [ a r c t a n ( f - 1 ) ]

identificando na regra da cadeia que f ( g ) = a r c t a n ( g ) em que g ( x ) = f - 1 ( x ) , temos que a derivada é

d d x [ a r c t a n ( f - 1 ) ] = d d g [ a r c t a n ( g ) ] d d x [ f - 1 ( x ) ]

Usando a derivada conhecida

d d g [ a r c t a n ( g ) ] = 1 1 + g 2

com g = f - 1 ( x ) , temos que

d d x [ a r c t a n ( f - 1 ) ] = 1 1 + f - 1 2 d d x [ f - 1 ( x ) ]

Ótimo! Guarde esse resultado que vamos usá-lo na outra derivada que temos que fazer!

Passo 5

Vamos resolver agora

d d x [ f - 1 2 a r c t a n ( f - 1 ) ]

temos aqui um produto de funções da forma f ( x ) = g ( x ) h ( x ) , portanto, a derivada precisa ser realizada pela regra do produto

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ f ( x ) ] g ( x ) + f ( x ) d d x [ g ( x ) ]

usando que g ( x ) = f - 1 2 e que h ( x ) = a r c t a n ( f - 1 ) , temos

d d x [ f - 1 2 a r c t a n ( f - 1 ) ] = d d x [ f - 1 2 ] a r c t a n ( f - 1 ) + f - 1 2 d d x [ a r c t a n ( f - 1 ) ]

A segunda derivada nós já calculamos nos passos anteriores! A primeira, precisaremos usar a regra da cadeia identificando que f ( g ) = g 2 e que g ( x ) = f - 1 ( x ) , portanto, temos que

d d x [ f - 1 2 ] = d d g [ g 2 ] d d x [ f - 1 ]

lembrando a regra do tombo como

d d x [ x n ] = n   x n - 1

temos que para n = 2 , obtemos

d d x [ f - 1 2 ] = 2 g d d x [ f - 1 ] = 2 f - 1 ( x ) d d x [ f - 1 ]

A regra do produto pode então ser escrita como

d d x [ f - 1 2 a r c t a n ( f - 1 ) ] = 2   f - 1 d d x [ f - 1 ] a r c t a n ( f - 1 ) + f - 1 2 1 1 + f - 1 2 d d x [ f - 1 ( x ) ]

Maravilha!!! Vamos usar isso tudo para isolar a nossa derivada! Saca só!

Passo 6

Nós queríamos obter inicialmente

d d x [ x ] = 2 d d x [ f - 1 2 a r c t a n ( f - 1 ) ] + 2 d d x [ a r c t a n ( f - 1 ) ]

Substituindo os resultados que obtivemos, e usando a regra do tombo com n = 1 do lado esquerdo, temos que

1 = 2 { 2   f - 1 d d x [ f - 1 ] a r c t a n ( f - 1 ) + f - 1 2 1 1 + f - 1 2 d d x [ f - 1 ( x ) ] } + 2 { 1 1 + f - 1 2 d d x [ f - 1 ( x ) ] }

Se colocarmos a derivada em evidência, temos que

1 = { 4   f - 1 a r c t a n ( f - 1 ) + 2 f - 1 2 1 1 + f - 1 2 + 2 1 1 + f - 1 2 } d d x [ f - 1 ( x ) ]

Vamos reescrever um pouco para ficar mais bonitinho, vamos usar que d d x [ f - 1 ( x ) ] = ( f - 1 ) ' e evidenciar o termo 1 1 + f - 1 2 , temos que

1 2 = 1 1 + f - 1 2 { 2 [ 1 + f - 1 2 ]   f - 1 a r c t a n ( f - 1 ) + f - 1 2 + 1 } ( f - 1 ) '

Note que também dividi tudo por 2 , note que ainda podemos colocar [ 1 + f - 1 2 ] em evidência para obter

1 2 = [ 1 + f - 1 2 ]   1 + f - 1 2 { 2 f - 1 a r c t a n ( f - 1 ) + 1 } ( f - 1 ) ' = [ 2 f - 1 a r c t a n ( f - 1 ) + 1 ] ( f - 1 ) '

Bem mais simples não é? Nossa derivada é dada por

( f - 1 ) ' = 1 2 [ 2 f - 1 a r c t a n ( f - 1 ) + 1 ]

Vamos aplicar agora no valor de x desejado! Vem comigo!

Passo 7

Se tentarmos calcular agora ( f - 1 ) ' ( - π ) , temos que

( f - 1 ) ' ( - π ) = 1 2 [ 2 f - 1 ( - π ) a r c t a n ( f - 1 ( - π ) ) + 1 ]

Como temos que f - 1 ( x ) é inversa de nossa função f ( x ) , e temos que f ( - 1 ) = - π , então temos que f - 1 ( - π ) = - 1 , de forma que obtemos

( f - 1 ) ' ( - π ) = 1 2 [ 2 [ - 1 ] a r c t a n ( [ - 1 ] ) + 1 ] = 1 2 [ 1 - 2   a r c t a n ( [ - 1 ] ) ]

usando que a r c t a n ( - 1 ) = - π / 4 , obtemos finalmente

( f - 1 ) ' ( - π ) = 1 2 [ 1 - 2   ( - π / 4 ) ] = 1 2 [ 1 + π / 2 ]

ou, simplesmente

( f - 1 ) ' ( - π ) = 1 2 + π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( - 1 ) = 4 ( - π / 4 ) = - π e ( f - 1 ) ' ( - π ) = 1 2 + π

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