Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

Ver Teoria

Enunciado

Verifique a igualdade

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = 1 2 1 - x 2

Passo 1

Aqui, precisamos usar a Regra da cadeia com a função arco tangente e o quociente de dentro:

f x = arctg ⁡ x           ;           g x = x 1 + 1 - x 2

Onde queremos:

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = d d x f g x

= f ' g x g ' x

Passo 2

Derivando f :

f ' x = arctg ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Agora g :

g ' x = x 1 + 1 - x 2 ' = x ' 1 + 1 - x 2 - x 1 + 1 - x 2 ' 1 + 1 - x 2 2

= 1 1 + 1 - x 2 - x 0 + 1 - x 2 ' 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2

= 1 + 1 - x 2 - x - 2 x 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2 = 1 + 1 - x 2 + x 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2

= 1 - x 2 + 1 - x 2 + x 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2 = 1 - x 2 + 1 1 + 1 - x 2 2 1 - x 2

= 1 1 - x 2 + 1 1 - x 2

Passo 3

Reunindo o que achamos lá na Regra da Cadeia:

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = d d x f g x

= f ' g x g ' x = 1 1 + x 1 + 1 - x 2 2 1 1 - x 2 + 1 1 - x 2

= 1 1 + 1 - x 2 2 + x 2 1 + 1 - x 2 2 1 1 - x 2 + 1 1 - x 2

= 1 + 1 - x 2 2 1 + 1 - x 2 2 + x 2 1 1 - x 2 + 1 1 - x 2

= 1 - x 2 + 1 1 - 2 1 - x 2 + 1 - x 2 + x 2 1 1 - x 2

= 1 - x 2 + 1 2 + 2 1 - x 2 1 1 - x 2 = 1 - x 2 + 1 2 1 + 1 - x 2 1 1 - x 2

= 1 2 1 1 - x 2

De onde concluímos que:

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = 1 2 1 - x 2

Resposta

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = 1 2 1 - x 2

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o exercício 54 da série de exercícios 8.1, mostrando que arctan ⁡ x e - arctan ⁡ 1 x diferem por uma constante e então calcule-a.
Dois pontos, A e B , são diametralmente opostos nas praias de um lago circular com 1 km de diâmetro. Uma pessoa deseja ir do ponto A ao ponto B . Ela pode remar a uma velocidade de 1 1 2 km/h e andar
Encontre a derivada da função dada:f (x) = sec^(- 1) (sqrt(x^2 + 4))
Encontre a derivada da função dada:f (x) = ln (tg^(- 1) 3 x)
Encontre a derivada da função dada:g (x) = x^2 sec^(- 1) (1)/(x)